Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Закон Ома Расчет электрических цепей Электрические машины переменного тока Электронные усилители и генераторы Трехфазные выпрямители

Задания по расчетно-графической работе №2

 «Электрические цепи однофазного синусоидального тока».

В электрической цепи однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:

1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;

2) действующие значения токов в ветвях;

показания вольтметра и ваттметра;

Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для всей цепи.

вар.

схемы

 Параметры элементов электрической цепи

E

В

f

Гц

R1Ом

C1

МкФ

L1

мГн

R2

Ом

C2

мкФ

L2

мГн

R3

Ом

C3

мкФ

L3

мГн

02

1.3

120

50

 4

500

 -

8

 -

15,9

 5

300

 

 Рис.1.3 

 

 

2. Основные сведения из теории фильтрующих цепей

Электрические фильтры – это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область. На рис. 2.1 приведены структурные характеристики ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ) и полосового фильтра (ПФ). Для ФНЧ полоса пропускания лежит в диапазоне частот 0 ¸ fп, а непропускания – в диапазоне fз ¸ ¥ (рис. 2.1, а); для ПФ полоса пропускания fп1 ¸ fп2 располагается между полосами непропускания 0 ¸ fз1 и fз2 ¸ ¥ (рис. 2.1, б).

Подпись:  
Рисунок 2.1
Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так ослабление в ПП не должно превышать максимально допустимого ослабления Аmax = DА, а в ПН не должно быть ниже значения Аmin. Требования к другим характеристикам фильтров здесь не рассматриваются. Схема подключения фильтра к источнику сигнала приведена на рис. 2.2.

Подпись:  
Рисунок 2.2
Синтез (расчет) фильтров состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. На первом этапе по заданным Аmin и Аmax в ПП и ПН формируется передаточная функция фильтра, т. е. математическое описание цепи, которая удовлетворяет указанным выше требованиям. На втором этапе создают схему цепи и определяют значения ее элементов по полученной передаточной функции.

Оба этапа хорошо разработаны применительно к синтезу ФНЧ. Что касается синтеза других типов фильтров: полосовых, заграждающих (режекторных), фильтров верхних частот, – то возможны различные варианты расчета. Один из них основан на том, что требования к заданному фильтру пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу на основании принципа преобразования частоты. Рассчитывается НЧ-прототип по методике синтеза ФНЧ. Затем полученная схема НЧ-прототипа преобразуется в схему заданного фильтра, но только в случае пассивных фильтров [1¸3]. В случае активных фильтров этап реализации осуществляется другим методом.

2.1. Синтез пассивных полосовых фильтров

Этап аппроксимации. Задано: частоты fп1 и fп2 – границы ПП и частота fз2 – граница ПН справа; ослабление Аmin и Аmax = DА (рис. 2.1, б). Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН

  

находим значение fз1 – граничной частоты ПН слева.

Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

  

при тех же значениях Аmin и Аmax (рис. 2.1, а).

Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ |H(j2pf)|2 = |H(jw)|2. Для унификации расчетов вместо угловой частоты w вводят понятие нормированной частоты W = w/wн, где wн – нормирующая частота. Обычно в качестве wн выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

  

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

  

  

где y(W) – функция фильтрации; e – коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве y(W) используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

Подпись:  
Рисунок 2.3
У фильтров Баттерворта y(W) = Вm(W) = Wm, где m – порядок фильтра. Характеристика H2(W) = |H(jW)|2, т. е. квадрата коэффициента передачи для таких фильтров разного порядка m приведена на рис. 2.3, а (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 6, кривая 3 для m = 2). При W = 1 все кривые проходят через точку, зависящую от e. Из анализа рисунка видно, что e действительно определяет неравномерность коэффициента передачи ФНЧ в ПП.

Если в (2.4) положить y(W) = Вm(W), а jW = р, то после преобразований получим передаточную функцию фильтра в виде

  

где H0 = 1/e.

У фильтров Чебышева функция фильтрации y(W) = Тm(W) = = cosm× arccosW для области нормированных частот –1 Ô W Ô 1. Характеристика квадрата коэффициента передачи при разных m показана на рис. 2.3, б (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 4, кривая 3 для m = 2). Анализ кривых на рис. 2.3, б показывает, что полином Чебышева в интервале 0 Ô W Ô 1 принимает экстремальные значения (min или max) m + 1 раз. Или по иному: порядок фильтра нижних частот Чебышева по кривой H2(W), или по любой другой частотной характеристике фильтра, определяется удвоенным количеством периодов колебаний в ПП, рассчитанном на уровне полосы пропускания. На рис. 2.3, б: граница полосы пропускания по частоте – это W = 1; уровень полосы пропускания – это 1/(1 + e2).

Передаточная функция фильтра Чебышева описывается тем же выражением (2.6), но коэффициент H0 = 1/(e×2m–1).

Анализ кривых на рис. 2.3 показывает, что:

чем выше порядок фильтра, тем выше его избирательность за счет уменьшения переходной области;

при одинаковом порядке m избирательность фильтров Чебышева выше избирательности фильтров Баттерворта;

у фильтров Чебышева ФЧХ в полосе пропускания имеет нелинейный характер за счет волнового характера изменения Н2(W) в ПП.

Итак, этап аппроксимации при синтезе ПФ заканчивается получением функции H(p) для НЧ-прототипа.

Этап реализации. Если фильтр со стороны зажимов 1–1¢ рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой Rн (рис. 2.2), то, можно оперировать понятием входного сопротивления Zвх.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1–1¢:

  

где s(р) – коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями Rг и Zвх.1(р). Если известно Zвх.1(р), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона [1, 2]. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Zвх.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление Rг, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином h(р): s(р) = h(р)/v(р). Тогда (2.7) записывают как

  

Например, для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

  

а полином h(р) будет:

  

Подставляя h(р) из (2.10) и v(р) из (2.6) в (2.8), записывают Zвх.1(р) в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC-фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление Rн. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией расчета является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения.

Расчет сечения проводов по допустимому нагреву