Курс лекций по физике Электротехника

Расчет цепей переменного тока Расчет синусоидальных и несинусоидальных цепей Контрольная по ТОЭ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов

1. Графики несинусоидальных токов. Ранее были рассмотрены электрические цепи при постоянных и синусоидальных напряжениях и токах. В автоматике, телемеханике и связи, в различной аппаратуре электронной и вычислительной техники широко используют периодические несинусоидальные токи и напряжения. На рис. 16.1, а дана кривая несинусоидального тока, полученного при двухполупериодном выпрямлении. Этот ток, не меняя своего направления, изменяется по значению. Выпрямленные токи сглаживают (т. е. выравнивают их значения) с помощью фильтров и используют для питания различных электротехнических устройств. На рис. 16.1,б, в представлены графики пилообразного напряжения и напряжения в виде повторяющихся импульсов прямоугольной формы. Генераторы таких напряжений, называемые релаксационными, используются в различных устройствах импульсной и вычислительной техники. В телефонной связи передача звуковых колебаний связана с их превращением в электрические. Получаемые при этом переменные токи имеют различную несинусоидальную форму.

2. Причины возникновения несинусоидальны токов. Несинусоидальные токи возникают в результате включения в электрическую цепь генераторов несинусоидального напряжения специальной формы, из-за наличия в электрической цепи нелинейных элементов. К нелинейным элементам относятся катушки с ферромагнитным магнитопроводом, стабилизаторы напряжения, умножители и делители частоты, магнитные усилители, выпрямители, бареттеры, транзисторы и т. д. Появление в электрических цепях несинусоидальных токов и напряжений в ряде случаев приводит к нежелательным последствиям. Например, в_электрических двигателях при наличии несинусоидальных токов возникают дополнительные потери мощности, ухудшаются характеристики. В линиях автоматики, телемеханики и связи несинусоидальные токи создают помехи. При изучении процессов в электрических цепях с несинусоидальными напряжениями и токами пользуются теоремой Фурье, согласно которой любую периодически изменяющуюся величину (ЭДС, напряжение, ток) можно представить в виде суммы постоянной составляющей и ряда синусоидальных величин с кратными частотами.

 

 

Выражение несинусоидальных токов и напряжений рядами Фурье

1. Сложение синусоидальных токов разной частоты. Предположим, что синусоидальный ток i1 с частотой f складывается с синусоидальным током i2 с частотой 2f (рис. 16.2). Нетрудно заметить, что кривая результирующего тока i (на рисунке она показана пунктирной линией) имеет несинусоидальную форму. Следовательно, несинусоидальный ток i можно разложить на синусоидальные i1 с частотой f и i2 с частотой 2f. Результирующую кривую выражают следующим уравнением: i=i1+i2=I1msint+I2msint. Первая составляющая тока i1=I1msint называется гармоникой первого порядка, а вторая i2=I2msin2t — гармоникой второго порядка.

2. Разложение несинусоидальных кривых в ряд Фурье. Если к двум синусоидальным токам i1 и i2 прибавить третий с частотой 3f, то получим новую несинусоидальную кривую, состоящую из трех гармоник: первого, второго и третьего порядков. Продолжая прибавлять синусоиды с частотами 4f, 5f и т.д., получим разнообразные несинусоидальные кривые. Их количество можно увеличить за счет не только числа суммируемых синусоидальных величин, но и изменения их амплитуд и начальных фаз. Установлено, что любая периодическая несинусоидальная кривая тока, напряжения или ЭДС состоит из ряда синусоид (гармоник). Иногда несинусоидальные кривые содержат не только синусоидальные составляющие (гармоники), но и постоянную составляющую. На основании этого закон изменения периодического несинусоидального тока в общем виде можно выразить следующим уравнением, называемым рядом Фурье:

где I0 — постоянная составляющая тока (на графике изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс); I1m, I2m, I3m — амплитуды первой, второй, третьей гармоник тока, a 1, 2, 3 — их начальные фазы.

Гармоники первого, третьего, пятого порядков называются нечетными, а второго, четвертого, шестого порядков — четными. Чем выше номер гармоники, тем меньше ее амплитуда. Поэтому при разложении несинусоидальных кривых гармоники высоких номеров можно не учитывать.

За счет резонансов амплитуды некоторых гармоник резко увеличиваются. Первая гармоника с частотой несинусоидального периодического тока называется основной; остальные, частота которых в 2, 3, 4 раза больше основной, — высшими. Несинусоидальное напряжение, как и ток, можно выразить рядом Фурье:

где и — мгновенное значение периодического несинусоидального напряжения; U0 — постоянная составляющая напряжения; U1m, U2m, U3m — амплитуды первой, второй, третьей гармоник напряжения; 1, 2, 3— начальные фазы гармоник напряжения. Форма ряда Фурье, представленная (16.1), (16.2), удобна для расчетов цепей несинусоидального тока.

Для разложения несинусоидальных кривых на составляющие удобна вторая форма ряда Фурье. Ее получают из первой путем разложения каждой гармоники на две составляющие: синусную и косинусную с нулевыми начальными фазами. При использовании второй формы ряда Фурье несинусоидальный ток

где I0 — постоянная составляющая; 1'1т, 1'2т, 1'3т и 1''1т, 1''2т, 1''3т, — амплитуды синусных и косинусных составляющих первой, второй и третьей гармоник тока. Несинусоидальные кривые тока, напряжения или ЭДС фотографируются с экрана специального прибора — осциллографа. Для разложения их в ряд Фурье используют аналитические, графические методы или специальные приборы (электрические гармоникоанализаторы).

 

Виды несинусоидальных кривых

1. Кривые, симметричные относительно оси абсцисс. При разложении некоторых несинусоидальных токов или напряжений в рядах Фурье отсутствуют те или другие составляющие. Например, несинусоидальный ток i (рис. 16.2) раскладывается на основную гармонику и гармонику второго порядка, где отсутствуют гармоники третьего, четвертого порядков, а также постоянная составляющая. В зависимости от формы несинусоидальные периодические кривые можно разделить на кривые, симметричные относительно осей абсцисс, ординат и начала координат. Рассмотрим каждую группу кривых отдельно. Кривая будет симметрична относительно оси абсцисс, если двум ее абсциссам, различающимся на половину периода, соответствуют равные по величине, но противоположные по знаку ординаты. Одна из таких кривых (см. рис. 16.1, в) раскладывается в ряд Фурье следующего вида:

В этом ряду отсутствуют постоянная составляющая и гармоники четного порядка. Это правило относится ко всем кривым первой группы. Отсутствие постоянной составляющей объясняется тем, что среднее значение указанных функций за период . Следовательно, кривые, симметричные относительно оси абсцисс, содержат только нечетные ящшрниш (первого, третьего, пятого порядков).

2. Кривые, симметричные относительно оси ординат и начала координат. Кривая симметрична относительно оси ординат в том случае, если двум ее равным по величине, но противоположным по знаку абсциссам соответствуют одинаковые по величине и знаку ординаты. К этой группе кривых относится кривая, изображенная на рис. 16.3. При разложении в ряд Фурье подобные кривые содержат постоянную составляющую и ряд переменных составляющих, изменяющихся по закону косинуса. Кривая на рис. 16.3 выразится следующим уравнением:

Несинусоидальная кривая называется симметричной относительно начала координат, если любым двум равным абсциссам с разными знаками соответствуют равные по величине и обратные по знаку ординаты. Кривая такого типа показана на рис. 16.4. Она раскладывается в ряд Фурье следующего вида:

Отмеченные закономерности справедливы для любых периодических несинусоидальных кривых (тока, напряжения или ЭДС).

Расчет проводов по допустимой потере напряжения