Курс лекций по физике Электротехника

Расчет цепей переменного тока Расчет синусоидальных и несинусоидальных цепей Контрольная по ТОЭ

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Общие сведения о комплексных числах

1. Алгебраическая форма. Для расчета цепей переменного тока широко используются комплексные числа. Для этого изменяющиеся синусоидально ЭДС, напряжения и токи, а также сопротивления, проводимости и мощности изображаются комплексными числами. Это позволяет заменить графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами, использовать для расчета цепей переменного тока законы Кирхгофа и все методы расчетов сложных цепей постоянного тока.

Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической. В алгебраической форме комплексное число (сокращенно — комплекс) А выражается как сумма действительного числа А' и мнимого числа jА", т.е. А = A'+jA". Мнимое число равно произведению мнимой единицы j =  и коэффициента при ней А".

Для графического изображения комплексных чисел возьмем прямоугольную систему координат (комплексную плоскость, рис. 14.1) и условимся откладывать от горизонтальной оси действительные, или вещественные, числа, а по вертикальной — мнимые, принимая во внимание их знаки. Оси действительных и мнимых чисел сокращенно называют действительной и мнимой осями. Имея, например, комплекс А = 3 + j4, нанесем на действительную ось число 3, а на мнимую — мнимое число j4. Из концов полученных отрезков восстановим перпендикуляры до их пересечения. Из начала координат в точку пересечения проведем вектор, который будет выражать заданное комплексное число. Таким образом, всякому комплексу на комплексной плоскости соответствует некоторый вектор. Число j =  называют поворотным множителем. Умножение на j комплексного числа приводит к повороту изображающего вектора на 90° в положительном направлении, т. е. против направления вращения часовой стрелки. Если задано действительно положительное число А', то на комплексной плоскости оно изобразится отрезком или вектором, направленным по действительной положительной полуоси. При умножении числа А' на j получим мнимое число jA', которое изображают вектором, направленным по мнимой положительной полуоси, т. е. повернутым относительно первого вектора на 90° в положительном направлении.

2. Показательная форма. Для того чтобы комплексное число написать в показательной форме, необходимо знать его модуль и аргумент. Модуль комплексного числа определяется по теореме Пифагора: |А| = . Например, модуль комплекса А = 3 + j4 (рис. 14.1) равен |А| =. Угол а, составленный вектором с действительной положительной полуосью, называется аргументом комплекса. Положительные аргументы комплексов откладывают от действительной положительной полуоси против, а отрицательные — по ходу часовой стрелки. Аргумент комплекса A = A'+jA" можно определить по тангенсу: tg a = А"|А'. Например, для комплекса A = 3 + j4 tga = 4/3= 1,33, откуда а=53°08'. Комплексное число в показательной форме выразится произведением модуля и поворотного множителя А = |А|еja, где е=2,718 — основание натуральных логарифмов. Поворотный множитель еja показывает, что вектор на комплексной плоскости повернут относительно действительной положительной полуоси на угол а против направления движения часовой стрелки. Для рассмотренного примера А = 3 + j4 = 5еj53°08°. Если аргумент комплекса отрицателен, то А = |A|е-ja.

3. Тригонометрическая форма. При решении задач комплексным методом приходится переходить от показательной формы к алгебраической. Заданными являются модуль и аргумент комплекса, требуется определить действительную и мнимую части комплексного числа и представить его в алгебраической форме. Из прямоугольного треугольника (рис. 14.2) A'=|A|cosa, a A" = |A|sin a. Следовательно, комплекс А = A' + jA" = |A|cos a + j|A| sin a. Полученная запись выражает тригонометрическую форму комплексного числа. Пусть задан комплекс A=10е/30°, а требуется записать этот же комплекс в тригонометрической и алгебраической формах. Для этого воспользуемся только что полученной формулой А = 10е/30° = 10cos30° + /10sin30° = 8,6 + j5.

4. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных кисел. Над комплексными числами можно производить действия сложения, вычитания, умножения, деления. Для сложения и вычитания комплексы представляют в алгебраической форме. При сложении двух и нескольких комплексных чисел отдельно складывают мх действительные и мнимые части: 'A+ В = (A' + jA") + (В' + jB") = (A' + B') + j(A" + B") = C' + jC"=C. Пусть A = 5 + j10, а В= 10-j5. Тогда С = А + В = 5 + j10+ 10-j5 = 15 + j5. При вычитании одного комплексного числа из другого вычитаются отдельно их действительные и мнимые части: А — B = (A'+jA")-(B'+jB") = (A'-B') + j(A"-B") = C'+jC" = С. Так как комплексное число можно представить вектором, то сложение или вычитание чисел соответствует сложению и вычитанию векторов. Умножение и деление комплексов производятся в показательной или алгебраической формах записи. В первом случае эти действия выполняются проще. Поэтому комплексы, заданные в алгебраической форме, для умножения или деления переводят в показательную. Произведение двух комплексов, выраженных в показательной форме, есть комплекс, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент — алгебраической сумме аргументов перемноженных комплексов: С = АВ = |A|еja|B|еjβ = |A||B| • ej(a+β) = |C|ejγ, где |С| = |A||B|, a γ = a + β. Пусть А = 5еj25°, a B=4e-j60°. Тогда C = АВ = 5еj25°4е-j60°= 20е-j35°. Если сомножители имеют одинаковые модули, равные по величине, но противоположные по знаку аргументы, то их произведение равно квадрату модуля сомножителей: С = |A|еja|A|е-ja = |А|2ej0° = |A|2. Два таких комплекса называются сопряженными. Частное от деления двух комплексов, выраженных в показательной форме, есть комплекс, модуль которого равен частному от деления модуля комплекса делимого на модуль комплекса делителя, а аргумент равен алгебраической разности аргументов делимого и делителя: С =, где   и γ=a-β. Пусть А = 25е-j30° , а В = 5еj10°. Тогда С === 5е-j40°

 

Выражение основных электрических величин комплексными числами

1. Токи, напряжения в комплексной форме записи. Синусоидальные величины можно изображать комплексными числами. комплексные значения тока, напряжения и ЭДС принято обозначать прописными буквами с точкой: I, U, Е, а их модули, соответствующие действующим значениям, обозначают теми же буквами, но без точек над ними: I, U, Е. Вернемся к цепям с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности (см. § 12.1), активного сопротивления и емкости (см. § 12.2). Векторная диаграмма первой цепи, построенная на комплексной плоскости, дана на рис. 14.3, а, а второй — на рис. 14.4, а. В обоих случаях вектор тока I направлен по оси действительных чисел вправо от начала координат. Поэтому комплекс тока I = Iеj0° = I, где I — модуль комплекса тока, а 0° — его начальная фаза.

Комплекс напряжения на зажимах цепи с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности (рис. 14,3, о) U=Ua +jUL=Uejф, где Ua и jUL — вещественная и мнимая части; U и ф - модуль и начальная фаза комплекса напряжения. Таким образом, комплексное изображение синусоидальной величины определяет ее действующее (амплитудное) значение и начальную фазу. Пусть ток в катушке I = 5 А, активное падение напряжения Ua = 60 В, а индуктивное UL = 80 В. Тогда комплекс тока I=I= 5 А, а комплекс напряжения U= Ua + jUL = 60 + j80. Для перехода от алгебраической формы к показательной найдем модуль комплекса напряжения: U = = 100 В и. tgф = Е= UL/Ua = 80/60= 1,33. Значит, ф = 53°08'. Поэтому комплекс напряжения U = 60 + j80= 100еj53°08' В.

 Комплекс общего напряжения цепи с последовательным соединением активного сопротивления и емкости (рис. 14.4,а) U = Ua — jUC=Ue-jф. Таким образом, в общем выражении комплекса напряжения перед мнимой частью ставятся знаки плюс, если она выражает индуктивное напряжение, и минус, если — емкостное. При последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости комплекс общего напряжения цепи U = Ua+ jUL — jUC = Ua + j(Ul — Uc) = Uejф. Модуль полученного комплекса U =, а его аргумент ф= arctg. При этом ф>0, если UL>UC, и ф<0, если UL<UC. В ряде случаев нулевую фазу приписывают не току, а напряжению. Тогда вектор напряжения и будет направлен по оси действительных чисел комплексной плоскости, а остальные векторы ориентируются относительно этого#исходного вектора. При этом условии комплекс напряжения U = Uej0° = U. Комплекс тока для цепей с последовательным соединением г и L I = Iе-jф.

2. Сопротивления и проводимости в комплексной форме. Сопротивления и проводимости можно выразить комплексными числами. Комплексное сопротивление цепи обозначается Z, a комплексная проводимость— Y. При обозначении комплексных величин принято ставить точки только над теми комплексами, которые изображают синусоидально изменяющиеся величины. Поэтому для комплексов полного сопротивления и проводимости вместо точки над буквой ставят черту снизу. Модуль комплексного сопротивления цепи обозначают г, а комплексной проводимости — у. Рассмотрим треугольники сопротивлений и проводимостей цепей с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности (рис. 14.3,6, в), расположенные на комплексной плоскости. Активные сопротивления и проводимости изображены положительными отрезками на оси действительных чисел, а реактивные — положительными или отрицательными на оси мнимых чисел. С учетом этого составим комплексы полных сопротивлений и проводимостей. Для цепей с последовательным соединением г и L Z = r+jxL = zejф, a Y =g — jbL = ye-jф, а для цепей с г и С Z= r — jxc = ze-jф, a Y = g + +jbС = уеjф. Модули и аргументы этих величин определяют по следующим формулам. Для цепей с последовательным соединением г и L z = ; у =   и ф = arctg , а для цепей с г и С z = ; y = и ф= arctg. При последовательном соединении элементов с активным г, индуктивным xL и емкостным хС сопротивлениями Z = r+jxL — jxC = r+j(xL — xc) = zеjф. Модуль данного комплекса сопротивления z =, а его аргумент ф = arctg.

3. Комплексное значение мощности. В общем случае комплексное напряжение U = Uеj1, а комплексное значение тока I =Iej2. Тогда сопряженный комплекс тока, отмеченный звездочкой I = Ie-j2. Для определения мощности в комплексной форме необходимо комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока: S= UI= Uej1 Ie-j2= UIj() = UIcos ф + jUIsin ф. Действительная часть полученного комплекса равна активной мощности, а мнимая — реактивной. Положительный знак перед мнимой частью полученного комплекса указывает на индуктивный характер нагрузки, а отрицательный — на емкостный.

Законы Омы и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме I=U/Z = UY. В этом выражении учитывается связь между действующими значениями напряжения U и тока I, а также разность фаз между ними. Комплексное сопротивление ветви с сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С Z = r+j. Комплексное эквивалентное сопротивление неразветвленной цепи равно сумме всех ее комплексных сопротивлений: Z = Z1+Z2 +… +Z п. Комплексная эквивалентная проводимосгь при параллельном соединении равна сумме комплексных проводимостей отдельных параллельных ветвей: Y—Y1 + Y2 + … +Yn. Комплексное сопротивление эк-вивалентное-двум параллельным ветвям, Z12 = Z1Z2/( Z1+Z2). Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывают в виде ∑I = 0, т. е. алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные направления токов. Токи, направленные к узлу, записываются с положительным законом, а от узла — с отрицательным. Например, для узла А (рис. 14.5) получим I1- I2- I3 = 0. Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи в комплексной форме записывается в виде ∑E = ∑IZ, т. е. алгебраическая сумма действующих в контуре комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений. Уравнения по второму закону Кирхгофа записывают после выбора положительных направлений токов во всех ветвях цепи. Для схемы рис. 14.5 E= = I1Z1+I2Z2; E= I1Z1+ I3Z3; I3Z3- I2Z2=0.

Расчет последовательно-параллельных цепей

Изображение синусоидальных величин комплексными числами позволяет применить для расчета цепей синусоидального тока те же методы и соотношения, которые использовались в цепях постоянного тока. Рассмотрим пример расчета цепи со смешанным соединением участков.

Расчет проводов по допустимой потере напряжения