Курс лекций по физике Электротехника

Расчет цепей переменного тока Расчет синусоидальных и несинусоидальных цепей Контрольная по ТОЭ

РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Цепь с двумя параллельно соединенными катушками индуктивности

1. Векторная диаграмма напряжения и токов. Параллельное соединение приемников (двигателей, осветительных устройств, бытовых приборов) находит самое широкое применение. Все приемники при этом включаются в общую сеть переменного тока с определенным напряжением U. Рассмотрим цепь с параллельным соединением двух катушек индуктивности (рис. 13.1). Каждую катушку можно рассматривать как обмотку электродвигателя переменного тока. Первая параллельная ветвь содержит активное сопротивление г1 и индуктивность L1 первой катушки, а вторая — активное сопротивление г2 и индуктивность L2 второй катушки. Цепь с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности рассмотрена в § 12.1. Ток первой катушки I1 отстает по фазе от напряжения U на угол ф1 (см. рис. 12.2, а). Величину этого угла можно определить по сопротивлениям г1 и xL, (см. рис. 12.2, б): tgф1= хL1/г1. Ток второй катушки I2 отстает по фазе от напряжения U на угол ф2, откуда tgф2=xL2/r2. Построим векторную диаграмму цепи с параллельным соединением катушек индуктивности (рис. 13.2, а). За исходный вектор диаграммы примем вектор напряжения U, одинаковый для обеих катушек. По отношению к этому вектору под углами ф1 и ф2 в сторону отставания строим векторы I1 и I2. Начало вектора I2 совместим с концом вектора I1. Тогда замыкающий вектор I будет выражать ток в неразветвленной части цепи.

2. Расчет токов и мощностей. Токи в параллельных ветвях определим по закону Ома: I1 = U/z1 = U /; I2 = U/z2 = U/(). Значительно сложнее определить ток I, равный геометрической сумме токов I1 и I2. Векторы токов I1, I2 и I образуют треугольник, каждая сторона которого меньше суммы двух других его сторон. Поэтому ток всей цепи меньше арифметической суммы токов в параллельных ветвях. Для определения тока в неразветвленной части цепи каждый из токов I1 и I2 разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие: активную, совпадающую по фазе с напряжением U, и реактивную, отстающую от напряжения на 90° (рис. 13.2,а). Активная составляющая первого тока Ia1 = I1соsф1, а второго Iа2 = I2соsф2. Реактивная составляющая токов I1 и I2 равны Ip1 = I1sinф1 и Iр2 = I2sinф2. Сложив активные составляющие токов I1 и I2, получим активную составляющую тока всей цепи Ia = Ia1+Ia2, а при сложении реактивных составляющих — реактивную составляющую тока IP = IP1+IP2. Ток всей цепи определим по теореме Пифагора:

 

Следовательно, для нахождения тока всей цепи нужно сначала определить активные и реактивные составляющие токов в параллельных ветвях, затем активную и реактивную составляющие тока всей цепи. Активная мощность цепи Р = UIcos ф =UIa, а реактивная Q = UIsinф = UIp. Полная мощность

S= UI = , a cos ф = Ia/I.

3. Метод проводимостей. Обратимся к рис. 13.2,а. Токи I1, I2, I и их составляющие Ia1, Ia2, Ia, Ip1, Iр2, IР образуют много угольник токов. Если все его стороны уменьшить в U раз, то получим многоугольник проводимостей (рис. 13.2,6). На эквивалентной схеме каждую катушку можно изобразить двумя параллельно соединенными элементами: проводимостями активной g и реактивной b (рис. 13.2,в). Проводимости первой ветви:

активная

реактивная

полная

Проводимости второй ветви: активная g2 = r2/z22; реактивная b2 = xL2/z22; полная y2 =. Из многоугольника проводимостей видно, что активная проводимость цепи g = g1+g2, a реактивная b = b1+b2. Полная проводимость всей цепи y =. Таким образом, проводимость параллельных ветвей и всей цепи можно определить через активные и реактивные сопротивления катушек индуктивности. Токи катушек I1, I2 и I в неразветвленной части цепи прямо пропорциональны соответствующим проводимостям и напряжению U:

Рассмотренный метод расчета разветвленных цепей переменного тока называется методом проводимостей. По проводимости можно определить также мощности цепи и coscp. Мощности: активная Р = UIa = UUg = U2g; реактивная Q = UIр = UUb = = U2b; полная S=UI=UUy= U2y.

 

Цепь с параллельным соединением катушки и конденсатора

1. Векторная диаграмма напряжения и токов. Рассмотрим раз ветвленную цепь переменного тока, в одну из ветвей которой включена емкость. В первую параллельную ветвь (рис. 13.3), как и в предыдущем случае, включим активное г1 и индуктивное xL1 сопротивления, а во вторую — активное г2 и емкостное хС2 соп ротивления. К цепи подведем синусоидальное напряжение, действующее значение которого равно U. Ток в первой ветви I1 = U/z1 = U/, а во второй — I2 = U/z2 =U/. Зная, что ток I1 отстает по фазе от напряжения U на угол ф1, a ток I2 опережает это же напряжение на угол ф2, строим векторную диаграмму (рис. 13.4,а). По горизонтальной оси отложим вектор напряжения U.

Вектор тока I1 повернем относительно век тора напряжения по часовой стрелке на угол ф1, а вектор тока I2 — против часовой стрелки на угол ф2. Начало век тора I2 совместим с концом вектора I1. Тогда замыкающий вектор I будет выражать ток в неразветвленной части цепи.

2. Расчет токов. Из векторной диаграммы видно, что векторы токов I1, I2 и I образуют треугольник. Поэтому арифметическая сумма токов I1 и I2 больше тока I.

Ток в неразветвленной части цепи I=I1+I2. Разложим все токи на активную и реактивную составляющие. Активные составляющие токов I1 и I2 направлены в одну сторону — по направлению вектора напряжения, а реактивные — в противоположные. Реактивная составляющая первого тока Iр1, отстает по фазе от напряжения на 90°, а второго Iр2 опережает это же напряжение на 90°, т. е. реактивные составляющие токов в параллельных ветвях находятся в противофазе (сдвинуты между собой по фазе на 180°). Поэтому активная составляющая тока цепи Ia = Ia1+Ia2, а реактивная Ip = Ip1—Ip2. Ток в неразветвленной части цепи I = .

3. Применение метода проводимости. Если все стороны многоугольника токов уменьшить в U раз, то получим многоугольник проводимостей (рис. 13.4,6). Проводимости параллельных ветвей: активные g1 = г1/z21 и g2=r2/zg22. реактивные bl = xL1/z21 и b2 = xC2/z22, полные у1 =  и у2 =. Проводимости всей цепи: активная g = g1 + g2, реактивная b = b1-b2, полная y = . Обратим внимание на то, что реактивная проводимость всей цепи находится как разность реактивных проводимостей параллельных ветвей. Для определения токов необходимо соответствующие проводимости умножить на напряжение источника энергии:

Векторная диаграмма и многоугольник проводимостей на Рис. 13.4,а,б построены для случая, когда Ip1>Ip2. Здесь ток цепи I отстает по фазе от напряжения на угол ф и вся цепь имеет активно-индуктивный характер. Когда же Ip2>Ip1 (b2>b1), вся Кепь имеет активно-емкостный характер. При этом ток цепи one- режает напряжение на угол ср. Возможен режим, при котором Ip1 = Iр2. Реактивные токи полностью компенсируют друг друга, и ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напря жением. При этих условиях в цепи возникает резонанс токов. Этот режим работы электрической цепи подробно рассмотрен в § 13.4.

Расчет проводов по допустимой потере напряжения