Курс лекций по физике Электротехника

Расчет цепей переменного тока Расчет синусоидальных и несинусоидальных цепей Контрольная по ТОЭ

Собственные колебания в контуре

I. Колебательный контур. В цепи с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости можно получить резонанс напряжений. Для понимания этого явления очень важно иметь представление о процессах, происходящих в колебательном контуре. Колебательный контур (рис. 12.15) состоит из катушки индуктивности L и конденсатора С. В положении 1 переключателя П конденсатор С подключается к источнику с постоянным напряжением U и заряжается от него до амплитудного напряжения Um = U. В процессе заряда в электрическом поле конденсатора накапливается потенциальная электрическая энергия Wc = CU2m/2. После того как конденсатор полностью зарядится, переключатель П поставим в положение 2. При этом конденсатор отсоединяется от источника и начинает разряжаться на катушку индуктивности. При разряде напряжение и энергия электрического поля конденсатора снижаются до нуля.

Разрядный ток конденсатора в катушке индуктивности наводит ЭДС самоиндукции, которая противодействует любому изменению тока в цепи. Благодаря этому разрядный ток конденсатора изменяется плавно, без скачков. К моменту, когда конденсатор разрядится полностью и напряжение на его пластинах будет равным нулю, ток в катушке индуктивности достигнет амплитудного значения Iт. При этом в магнитном поле катушки сконцентрируется максимальное количество энергии WL = LI2m/2. Если не учитывать активное сопротивление контура, на котором электрическая энергия преобразуется в тепловую, то можно считать, что энергия электрического поля конденсатора полностью преобразуется в энергию магнитного поля катушки индуктивности:

Достигнув максимального значения, ток и энергия магнитного поля начнут уменьшаться. ЭДС самоиндукции при этих условиях направлена в сторону убывающего тока и поддерживает его.

При уменьшении тока происходит заряд конденсатора, в результате которого увеличивается напряжение на его пластинах. Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. К тому моменту, когда ток в цепи станет равным нулю, напряжение на конденсаторе вновь достигает амплитудного значения Um. При этом энергия магнитного поля катушки индуктивности полностью преобразуется в энергию электрического поля конденсатора. После этого процесс разряда и заряда конденсатора повторяется. Изменяется лишь направление тока в контуре. Таким образом, между катушкой индуктивности и конденсатором происходит обмен энергией. При этом в колебательном контуре возникает переменный синусоидальный ток определенной частоты (рис. 12.16). Такие колебания тока (и напряжения) в контуре называют незатухающими собственными колебаниями.

2. Частота незатухающих собственных колебаний. Выведем формулу частоты незатухающих собственных колебаний контура (0 и f0). Амплитудное значение тока в катушке индуктивности Im = Um/(0L), которое подставим в (12.12): . После сокращения на U2m/2 получим С = I/(L) или LC=1. Отсюда угловая частота незатухающих собственных колебаний 0 =, а частота

Следовательно, частота собственных колебаний зависит от индуктивности и емкости контура, причем с увеличением индуктивности и емкости частота незатухающих собственных колебаний уменьшается. Из (12.12) вытекает также важное соотношение: Im = Um/. Значение = zB имеет размерность сопротивления; оно называется характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура.

3. Затухающие колебания в контуре. В реальном колебательном контуре всегда имеется некоторое активное сопротивление г. Поэтому энергия контура превращается в теплоту. Значит, каждое очередное колебание в контуре будет совершаться с меньшим запасом энергии.

В результате амплитуда собственных колебаний будет уменьшаться (рис. 12.17) и они через некоторое время прекратятся. Частота затухающих колебаний, несмотря на изменение амплитуды, остается неизменной. Она зависит от индуктивности, емкости и активного сопротивления контура: 0 =:

 

Резонанс напряжений

1. Условия получения резонанса напряжений. Резонанс напряжений возникает в цепи, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости (см. рис. 12.7), при равенстве ее реактивных сопротивлений xL = xc. Так как xL = 2πfL, а хС =, то при резонансе 2πfL =   или 4n2f2LC = 1. Отсюда частота колебаний f= . По этой же формуле определяется и частота незатухающих собственных колебаний контура f0 (см. § 12.5). Следовательно, при резонансе напряжений частота подводимого к контуру переменного напряжения совпадает с частотой собственных колебаний контура, т.е. f = f0. Резонанс напряжений можно получить при постоянных параметрах контура, изменяя частоту подводимого напряжения. Если частота источника энергии остается постоянной, то для получения резонанса изменяют индуктивность катушки L или емкость конденсатора С.

2. Особенности резонанса напряжений. Полное сопротивление цепи при резонансе z = = г, т. е. равно активному сопротивлению (рис. 12.18, б). Оно становится наименьшим из всех возможных при изменении частоты источника f. Это значит, что индуктивное и емкостное напряжение взаимно уравновешиваются и полное напряжение источника равно активному напряжению цепи Ua (рис. 12.18, а). Под действием напряжения цепи при минимальном сопротивлении в цепи возникает наибольший ток I = U/z = U/г. При этом он совпадает по фазе с напряжением цепи, угол ф становится равным нулю. При малом активном сопротивлении цепи напряжения на индуктивности и емкости могут быть значительно больше напряжения источника. Действительно, ток в цепи I = U/r, а напряжения UL = IxL = = (U/r)xL и Uc = IxC = (U/r)xc. При резонансе каждое из реактивных сопротивлений равно волновому сопротивлению цепи:

хс = xL = 0L = L = = р . Величина Q = р/г называется добротностью контура (цепи). Отсюда UL = UC = UQ. Следовательно, при резонансе напряжения UL и UC больше напряжения U на зажимах цепи в Q раз. При равенстве реактивных сопротивлений xL = xC равны и реактивные мощности. Поэтому реактивная мощность цепи Q=Ql — QC = 0. Это значит, что при резонансе напряжений между индуктивностью и емкостью происходит полный обмен энергиями. Энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора и наоборот. Источник переменного напряжения не участвует в обмене и доставляет энергию лишь активному сопротивлению цепи г.

3. Практическое значение резонанса напряжений. Резонанс напряжений используется для настройки приемных и передающих устройств в области автоматики и связи на определенную частоту. На рис. 12.19 показан так называемый входной фильтр локомотивной сигнализации. По рельсам проходит импульсный ток частотой f. Он индуцирует в приемных катушках ЭДС этой же частоты. Так как катушки вместе с конденсатором С и первичной обмоткой трансформатора 1 образуют контур, настроенный на частоту f, то в нем возникает резонанс напряжений. Ток в контуре становится максимальным, и на вторичной обмотке трансформатора ш2 возникает максимальное напряжение частотой f, передаваемое на усилитель и далее к соответствующей аппаратуре. Для частот, отличающихся от частоты f, контур имеет большое сопротивление. Поэтому ток и напряжение этих частот на выходе трансформатора ничтожно малы. Таким образом, входная цепь локомотивной сигнализации является фильтром, который пропускает к аппаратуре только токи одной частоты и защищает ее от токов других частот.

Резонанс напряжений широко используется в радиотехнике. Например, для мощного излучения антенный контур передающих радиостанций всегда настраивают в резонанс колебаниям, создаваемым генератором. В электроэнергетических устройствах резонанс напряжений применяется редко. Высокие напряжения на индуктивности и емкости при резонансе, значительно превышающие напряжение на зажимах цепи, представляют опасность для изоляции и обслуживающего персонала.

 

Резонансные кривые

1. Зависимость сопротивления от частоты. Пусть цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления г, индуктивности L и емкости С, находится по переменным синусоидальным напряжением U, частоту которого можно плавно изменять от нуля до максимума. При изменении частоты будут изменяться сопротивления xL, xc, z, ток I, напряжения Ua, UL и Uc, мощности Р, Q, S и угол сдвига фаз ф между напряжением и током. Кривые зависимости I, UL, Uc и ф от частоты называют резонансными кривыми. Построим кривые изменения сопротивления xL, xC и z (рис. 12.20,а). Индуктивное сопротивление xL = = 2πfL прямо пропорционально частоте (на графике — прямая линия). При f = 0 xL= 0, при f = ∞ xL = ∞. Емкостное сопротивление хС =  обратно пропорционально частоте (на графике — гипербола). При f = 0 хс =∞, а при f =∞ хС = 0. Полное сопротивление цепи z =. При резонансной частоте xL = xC. Поэтому реактивное сопротивление х = xL — xc = 0, а полное сопротивление z=r становится минимальным. Если частота f источника больше резонансной f0, то xL>xC и в цепи кроме активного возникает дополнительное сопротивление х = xL — xC.

Отсюда полное сопротивление цепи становится больше активного сопротивления. При f = ∞ Xl = ∞ и z=∞. При частотах, меньших резонансной, в цепи также появляется сопротивление х=хс—xL(xc>xL). Поэтому полное сопротивление цепи также становится больше активного сопротивления. При f=0 хс=∞ и z=∞. Таким образом, полное сопротивление цепи с увеличением частоты (начиная с f = 0) уменьшается, при резонансной частоте f0 становится минимальным, а затем снова увеличивается до ∞.

2. Резонансные кривые. Ток в цепи I=U/z (рис. 12.20, б) увеличивается от нуля при f=0, когда z=∞, до наибольшего Iнаиб=U/r при резонансной частоте f0, а затем уменьшается до нуля при f=∞. Угол сдвига фаз напряжения и тока ф также зависит от частоты источника питания. При резонансной частоте f0 напряжение и ток совпадают по фазе, цепь имеет активный характер и угол ф=0. При увеличении частоты от f0 до ∞ угол ф увеличивается от 0 до 90°, а цепь носит индуктивный характер.

Если частоту источника питания уменьшать от f0 до 0, то угол ф будет изменяться от 0 до —90°. Таким образом, при увеличении частоты от 0 до ∞ угол ф увеличивается от —90° до 0 при резонансной частоте, а затем до +90°. При этом цепь сначала имеет емкостный, затем активный и, наконец, индуктивный характер. Индуктивное напряжение UL = IxL (рис. 12.20, в). При увеличении частоты от 0 до f0 ток I и сопротивление xL увеличиваются. Поэтому увеличивается и индуктивное напряжение, равное произведению этих величин. Можно показать, что при дальнейшем увеличении частоты индуктивное напряжение увеличивается, достигает наибольшего значения ULmах при частоте fL, а затем плавно уменьшается до напряжения источника U. Напряжение на емкости UC = IxC при f= 0 равно напряжению на зажимах цепи U (все напряжение сосредоточивается на бесконечно большом сопротивлении хс). С увеличением частоты емкостное напряжение увеличивается; при частоте fc достигает максимального значения UCmax = ULmax, а затем уменьшается до нуля (при f=∞, хС = 0 и UС = 0).

При резонансной частоте f0 напряжения на индуктивности и емкости Ul = UC. Качество резонансного контура определяется добротностью Q. Чем больше добротность контура, тем ближе расположены частоты fL и fc к резонансной частоте f0 и тем острее характеристики I, UL и UC. Вблизи резонансной частоты f0 можно выделить область частот, в пределах которой ток в контуре не меньше 0,707 резонансного значения. Эту область частот называют полосой пропускания контура. Ширина полосы пропускания зависит от добротности контура. Чем больше добротность контура, тем уже резонансная кривая тока и меньше полоса пропускания.

Расчет проводов по допустимой потере напряжения