Курс лекций по физике Электротехника

Расчет цепей переменного тока Расчет синусоидальных и несинусоидальных цепей Контрольная по ТОЭ

ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ИНДУКТИВНОСТЬЮ И ЕМКОСТЬЮ

Цепь с сопротивлением

1. Уравнения и графики тока и напряжения. Векторная диаграмма. Электрическая цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С. Они влияют на значение и начальную фазу переменного тока, возникающего в цепи при переменном напряжении. В элементах цепи, имеющих активное сопротивление, электрическая энергия преобразуется в теплоту. В элементах же цепи с индуктивностью и емкостью энергия в виде теплоты не выделяется, а периодически накапливается в магнитном и электрическом полях, а затем возвращается к источнику электроэнергии. Такие элементы цепи называют реактивными. Влияние этих элементов на переменный ток учитывается так называемыми реактивными сопротивлениями.

Электрическая цепь переменного тока имеет три параметра: г, L и С. Однако некоторыми из них можно в ряде случаев пренебречь. Например, лампы накаливания, резисторы, нагревательные приборы обычно характеризуются только активным сопротивлением г, ненагруженные трансформаторы — индуктивностью L, а кабельные линии без нагрузки — емкостью С. Пусть цепь с некоторым сопротивлением г (рис. 11.1) подключена к источнику питания с синусоидально изменяющимся напряжением

где и — мгновенное значение напряжения; Um — амплитудное значение напряжения; u>t — фаза напряжения. По закону Ома, мгновенное значение тока в этой цепи

где

Im — амплитудное значение тока. Из (11.1) и (11.2) видно, что синусоидальное напряжение и ток рассматриваемой цепи имеют одинаковые фазы. Следовательно, напряжение и ток в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе ( = 0). Графики напряжения и тока и векторная диаграмма цепи с сопротивлением показаны на рис. 11.2. Отметим, что на рис. 11.1 стрелками указаны положительные направления напряжения и тока в цепи. Истинное направление напряжения и тока совпадает с положительным направлением, когда i>0 и u>0, и противоположно ему, когда i<0 и u<0.

2. Закон Ома. Если обе части (11.3) разделить на , то получим Um/() = Im/ или

Формула (11.4) является математическим выражением закона Ома для цепи с сопротивлением, которое ничем не отличается от формулы для постоянного тока. Однако в (11.4) входят не постоянные, а действующие значения переменного тока и напряжения.

3. Мгновенная и активная мощности. Мгновенная мощность равна произведению мгновенного значения напряжения на мгновенное значение тока:

На рис. 11.2 показан график мгновенной мощности р. При t = 0 i = 0, u = 0 и р = 0. В первую половину периода с увеличением напряжения и тока увеличивается и мощность р. Достигнув амплитудного значения UmIm, мгновенная мощность уменьшается до нуля. Во вторую половину периода напряжение и ток отрицательны, но мощность по-прежнему положительна, так как перемножение двух отрицательных величин дает положительную: р = (-u)(-i) = ui. Положительное значение мощности указывает на то, что цепь всегда потребляет энергию от источника, преобразуя ее в теплоту. Среднюю за период мощность называют активной и обозначают Р. Согласно (11.5), мгновенная мощность состоит из двух слагаемых. Среднее за период значение переменной составляющей UIcos2t, как и любой гармонической функции, равно нулю. Поэтому активная мощность в цепи с активным сопротивлением равна постоянной слагаемой мгновенной мощности:

Полученные формулы ничем не отличаются от формул для вычисления мощности в цепи постоянного тока. Единица активной мощности в СИ — ватт (Вт). Более крупные единицы: 1 МВт= 106 Вт, 1 кВт= 103 Вт.

Цепь с индуктивностью

1. Уравнения и графики тока. ЭДС самоиндукции и напряжения. Векторная диаграмма. Электрические машины переменного тока, трансформаторы, электромагниты, реле, контакторы и т. д. имеют обмотки (катушки). Любая катушка обладает некоторой индуктивностью L, сопротивлением г и емкостью С. В ряде случаев параметры г и С незначительны и практически не влияют на физические процессы в электрической цепи. Такие катушки близки к идеальной, у которой учитывается только индуктивность. Допустим, что по идеальной катушке индуктивностью L (рис. 11.3) проходит синусоидальный ток создающий синусоидальный магнитный поток, который совпадает с ним по фазе (рис. 11.4).

Потокосцепление цепи  = Li = LImsint = msint, где m = LIm — амплитуда потокосцепления. Изменение потокосцепления вызывает ЭДС самоиндукции

Подставив в (11.8) выражение тока, получим

Максимальное значение ЭДС

Из (11.9) видно, что ЭДС самоиндукции изменяется по синусоидальному закону и отстает от тока по фазе на 90°. Это можно объяснить следующим образом. Когда ток достигает максимума, скорость его изменения di/dt = 0 и ЭДС самоиндукции eL =   = 0. В те моменты времени, когда ток равен нулю, скорость изменения тока di/dt и ЭДС самоиндукции eL имеют максимальные значения. Направление ЭДС самоиндукции определяется по закону Ленца. В первую четверть периода, когда ток увеличивается (рис. 11.5, а), ЭДС самоиндукции направлена навстречу току.

Поэтому ток и ЭДС самоиндукции на указанном отрезке времени имеют разные знаки. Во вторую четверть периода при уменьшении тока ЭДС самоиндукции имеет одинаковое с ним направление (и знак). Аналогично определяется знак ЭДС в третьей и четвертой четвертях периода. Теперь, когда выяснен закон изменения ЭДС самоиндукции, рассмотрим, как изменяется напряжение u и на зажимах катушки. Так как сопротивление катушки не учитывается, то можно считать, что приложенное напряжение уравновешивается только ЭДС самоиндукции катушки. Следовательно, в каждый момент времени напряжение численно равно ЭДС и направлено противоположно ей: u = —eL = — ELm sin (t — 90°) = ELmsin(t +90°).

Сопоставление полученного уравнения напряжения с уравнением тока (11.7) показывает, что в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток по фазе на 90°. Векторная диаграмма для цепи с индуктивностью показана на рис. 11.5, б.

2. Индуктивное сопротивление. Максимальное напряжение на зажимах катушки равно максимальной ЭДС самоиндукции. Согласно (11.10), ELm= Um=LIm. Отсюда максимальный ток Im=Um/(L); если обе части полученного равенства разделить на , то получим

Формула (11.11) аналогична формуле Ома и составлена для действующих значений переменного тока и напряжения. Произведение L имеет размерность сопротивления (Ом), называется реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением (обозначается xL) и вычисляется по формуле

Индуктивное сопротивление характеризует влияние ЭДС самоиндукции на ток в цепи и прямо пропорционально частоте переменного тока (рис. 11.6). Для постоянного тока f = 0 и xL = 0.

3. Мгновенная и реактивная мощности. Ранее было установлено, что ток в катушке индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90° (рис. 11.5, а). При t=0 напряжение и = Um, а ток i = 0. Поэтому мгновенная мощность р = ui = Um • 0 = 0. В конце первой четверти периода ток i = Im, но u = 0 и мощность р = 0. Таким образом, в начале и конце каждой четверти периода ток или напряжение, а значит, и мгновенная мощность равны нулю. В промежутке между этими моментами мощность будет положительной или отрицательной. В первую четверть периода ток и напряжение имеют одинаковые знаки. Поэтому мощность имеет положительный знак, указывающий на то, что цепь потребляет энергию, которая накапливается в магнитном поле катушки. Во вторую четверть периода у тока и напряжения разные знаки. Поэтому мощность имеет отрицательный знак. Это значит, что запасенная в магнитном поле энергия возвращается обратно генератору. За третью четверть периода мгновенная мощность будет положительной, за четвертую — отрицательной. Выведем уравнение мгновенной мощности. Мгновенная мощность цепи с индуктивностью

 

Таким образом, мгновенная мощность цепи с индуктивностью изменяется по синусоиде с двойной частотой: два раза в течение периода тока, достигая положительного максимума UI, и два раза — такого же по величине отрицательного. Цепь с индуктивностью то потребляет энергию, то отдает ее в таком же количестве источнику. Среднее значение мощности за один период переменного тока равно нулю. Через катушку протекает переменный ток, называемый реактивным. Реактивные токи бесполезно загружают линию электропередачи и электрический генератор. Это приводит к неполному использованию установленной мощности генератора и увеличению потерь энергии в соединительных проводах. Поэтому включать подобные приемники в сеть переменного тока нежелательно. Максимальное значение мощности в цепи с индуктивностью называется реактивной мощностью и обозначается Ql. Чем больше реактивная мощность, тем большее количество энергии передается в единицу времени от источника электрической энергии к катушке и обратно. Реактивная мощность

Единицей реактивной мощности является вольт-ампер реактивный: 1 вольт-ампер реактивный (1 вар=1 В·1 А). Более крупной единицей реактивной мощности является киловольт-ампер реактивный (квар): 1 квар= 103 вар.

Расчет проводов по допустимой потере напряжения