Курс лекций по физике Электротехника

Расчет цепей переменного тока Расчет синусоидальных и несинусоидальных цепей Контрольная по ТОЭ

Векторная диаграмма

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС вращающимися векторами.

Пусть требуется изобразить вращающимся вектором синусоидальный ток i = Im sin (t+). Для этого возьмем прямоугольную систему координат хОу (рис. 10.10). Из начала координат О под углом   проведем вектор Im, длина которого в выбранном масштабе равна амплитудному значению тока Im. Если вектор Im вращать против движения часовой стрелки с угловой скоростью =2πt, то его проекция на ось ординат будет изменяться по синусоидальному закону. Предположим, что за время t вектор повернется на угол t.

Тогда проекция вектора на ось ординат Oa=AB=Imsin(t+). Значит, отрезок Оа соответствует мгновенному значению переменного тока, причем одному обороту вектора Im будет соответствовать полный цикл изменений синусоидального тока.

Совокупность векторов, изображающих на одном чертеже несколько синусоидальных величин одной частоты, называется векторной диаграммой. Векторы, изображенные на такой диаграмме, имеют одинаковую угловую частоту . Поэтому их взаимное расположение на чертеже не меняется. Следовательно, при построении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольно, а остальные расположить по отношению к первому под углами, равными соответствующим углам сдвига фаз, и оси координат не чертить. В большинстве случаев векторные диаграммы цепей переменного тока служат для определения соотношений между действующими значениями напряжений и токов. Поэтому диаграммы обычно строят не для амплитудных значений, а для действующих, что обусловливает лишь уменьшение длины векторов в   раз.

 

Сложение и вычитание синусоидальных величин

1. Сложение и вычитание синусоидальных величин на временной диаграмме. При расчете электрических цепей переменного тока приходится складывать и вычитать синусоидальные токи, напряжения или ЭДС. Рассмотрим следующий числовой пример. Пусть два приемника энергии соединены параллельно. Ток первого i1 = 10sint, а второго i2 = 10 sin (t+ 90°). Действующие значения этих токов: I1 = I1m/= 7,07 А и I2 = I2m/= 7,07 А. Требуется написать уравнение тока i в неразветвленной части цепи и вычислить его действующее значение. По первому закону Кирхгофа, i = i1 + i2. Мгновенные значения токов i1, i2 и i зависят от электрического угла t. При t = 0 i1 = 10 sin 0° = 0, i2 = 10sin90° =10 А, i = i1 +i2 = 0+10= 10 А.

При t= 30° i1 = 10 sin 30° = 5 A, i2 = 10 sin 120° = 8,6 A, i = 5 + 8,6= 13,6 А. Аналогично определяют токи i1, i2 и i при других значениях угла t. По мгновенным значениям (табл. 10.2) построены графики токов i1, i2 и i (рис. 10.13). Из графиков видно, что ток i, как и токи i1 и i2, изменяется по синусоидальному закону с той же частотой.

Таблица 10.2

t,град

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

i1, A

i2, A

I, А

0

10

10

5

8,6 13,6

8,6

5 13,6

10

0

10

8,6

-5 3,6

5

-8,6 -3,6

0

-10

-10

-5

-8,6

-13,6

-8.6

-5

-13,6

-10

0

-10

-8,6

5

-3,6

-5 8,6 3,6

0

10

10

Его амплитудное значение Im=14,1 А, а начальная фаза  = 45°. Поэтому мгновенное значение тока /= 14,1 sin {Ш-\-+ 45°), а его действующее значение I = Im/ = 14,1/= 10 А. Таким образом, на временной диаграмме складываются (или вычитаются) мгновенные значения синусоидальных величин (токов, напряжений или ЭДС). При этом получается синусоидальная величина той же частоты, что и ее составляющие.

 2. Сложение и вычитание синусоидальных величин на векторной диаграмме. Рассмотрим, как осуществляется сложение тех же синусоидальных токов i1 и i2 на векторной диаграмме (рис. 10.15). Ток i2 опережает по фазе ток i1 на 90°. Поэтому вектор I2m повернут относительно вектора I1m на 90° против движения часовой стрелки. Сложив по правилу параллелограмма векторы I1m и I2m, получим вектор Im, изображающий общий синусоидальный ток. Его максимальное значение Im =   =14,1 А, а тангенс начального фазового угла tg= I2m/I1m= 10/10= 1. Значит,   = 45°. Такой же результат был получен при сложении токов на временной диаграмме. Однако на векторной диаграмме операции сложения выполняются проще. Таким образом, на векторной диаграмме производится сложение векторов, изображающих амплитудные (или действующие) значения синусоидальных величин (токов, напряжений или ЭДС).

Если нужно сложить не два, а большее число синусоидальных токов, то удобно пользоваться правилом многоугольника. По этому правилу векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д. (рис. 10.17).

Затем из начала первого вектора в конец последнего проводят замыкающий вектор, изображающий суммарный синусоидальный ток. Для того чтобы из одного вектора вычесть другой, необходимо к первому прибавить второй, но взятый с обратным знаком. Изменение знака вектора означает поворот его на ±180°. На рис. 10.18 векторы 12 и —12 — равны по абсолютной величине, но сдвинуты на угол 180°. Геометрическая сумма векторов I1 и — I2 выразится новым вектором: I = I1+(—I2) = I1 — I2. Приведенные положения о геометрическом сложении и вычитании векторов синусоидальных токов одной частоты справедливы и для других синусоидально изменяющихся величин (напряжений и ЭДС).

Расчет проводов по допустимой потере напряжения