Курс лекций по физике Электротехника

Закон Ома Расчет электрических цепей Электрические машины переменного тока Электронные усилители и генераторы Трехфазные выпрямители

Метод узлового напряжения

1. Определение узлового напряжения и токов. Потребители электрической энергии (лампы, электродвигатели и т.д.) соединяются параллельно. Часто общая мощность включенных приемников становится больше той, которую может отдать в сеть источник энергии. В таких случаях для увеличения мощности при неизменном напряжении источники энергии включают параллельно. При этом получается сложная электрическая цепь, представленная на рис. 6.7. В ней имеется два узла А и Б, к которым присоединяются источники энергии с ЭДС Е1, Е2 и Е3. Сопротивления г1, г2 и г3 можно принять за внутренние сопротивления источников, а сопротивление г4 — за эквивалентное сопротивление всех приемников энергии. Напряжение между узлами А и Б называется узловым напряжением. Оно равно разности потенциалов узловых точек, т.е. U = фА — фБ. Для расчета подобных сложных электрических цепей обычно пользуются методом узлового напряжения. Выведем формулу этого напряжения. Если ЭДС Е1, Е2 и Е3 больше узлового напряжения, то все источники ЭДС будут работать в режиме генератора, а токи I1, I2 и I3 направлены к узлу А. Ток приемников I4 = I1 + I2 + I3. Для контура, образованного первой ветвью с ЭДС Е1 и со

 противлением г1 и четвертой ветвью с сопротивлением г4, составим уравнение по второму закону Кирхгофа: Е1 = I1г1+U. Отсюда ток первого источника

II = (Е1–U)/r1=(Е1–U)g1,

где g1 = 1/r1 — проводимость первой ветви. Аналогично определяем токи второго и третьего источников:

I2 = (E2–U)g2.

I3 = (E3-U)g3.

Ток приемников энергии

I4 = U/r4 = Ug4.

Для узла А напишем уравнение по первому закону Кирхгофа: I1+I2+I3 = I4. Подставив в это уравнение найденные выражения для токов, получим (E1 — U)g1+(E2— U)g2 + (E3— U)g3 = Ug4. Раскрывая скобки, получим E1g1 – Ug1 + E2g2—Ug2+ E3g3 – Ug3 = Ug4 или Е1g1 +E2g2 + E3g3 = U(g1+g2 + g3 + g4), a U = (Е1g1 +E2g2 + E3g3)/(g1+g2 + g3 + g4).

В общем виде

 

Если какая-либо из ЭДС (рис. 6.7) имеет противоположное направление, то в (6.10) она войдет с отрицательным знаком. Таким образом, узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, деленной на сумму проводимости ветвей. Обычно бывают заданы все ЭДС и сопротивления. Находят токи методом узлового напряжения следующим образом: 1) по (6.10) определяют узловое напряжение; 2) пользуясь (6.6) — (6.9), определяют токи в ветвях цепи.

2. Анализ расчетных формул. Внимательно изучив (6.6) — (6.10), можно сделать следующие выводы: а) при параллельном соединении источники питания имеют одинаковые токи (I1 = I2 = I3), если они имеют одинаковые ЭДС (Е1 — Е2 = Е3) и внутренние сопротивления (r1 = г2 = г3 или проводимости g1 = g2 = g3; б) при равных ЭДС, но различных внутренних сопротивлениях наибольший ток имеет источник с меньшим внутренним сопротивлением, т. е. с большей проводимостью g; в) если ЭДС источника равна узловому напряжению U, то его ток I = (Е— U) • g = 0; г) если ЭДС источника окажется ниже узлового напряжения, то ток в его ветви будет направлен навстречу ЭДС. В этом случае источник ЭДС работает в режиме потребителя энергии (например, при заряде аккумуляторов); д) если увеличить ЭДС первого источника, то возрастут его ток I1 = (E1 — U)g1 и узловое напряжение U =  .

В результате этого снизятся токи других источников.

 

Метод наложения

Метод наложения можно применять для определения токов в цепи, в которой одновременно действуют несколько ЭДС. Этот метод основан на принципе наложения и применим только для линейных цепей. Сущность принципа наложения заключается в том, что ток в любой ветви цепи с постоянными сопротивлениями равен алгебраической сумме частичных токов, создаваемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности. Например, ток I3 (рис. 6.9, а) равен алгебраической сумме двух токов: I'3 (рис. 6.9,6), возникающего в ветви г3 от действия только ЭДС Е1, и I''3 (рис. 6.9, в), возникающего в этой же ветви от действия ЭДС Е2.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом.

В схеме оставляют первый источник энергии с ЭДС Е1; остальные источники отключают, оставляя в схеме их внутренние сопротивления. Обычно получается цепь с последовательно-параллельным соединением сопротивлений. В этой цепи легко определить так называемые частичные токи, вызванные действием только первого источника ЭДС. Их обозначают I'1, I'3 I'3 и т. д.

В схеме оставляют второй источник энергии с ЭДС Е2; остальные источники исключают, оставляя в схеме их внутренние сопротивления. В результате расчета определяют частичные токи от действия второго источника ЭДС: I'1, I'3 I'3 и т. д.

Аналогично производят расчеты для всех ЭДС схемы.

Алгебраически сложив частичные токи, определяют действительные значения токов на каждом участке сложной цепи, когда все ЭДС действуют одновременно. Знак, который ставится перед чаоичным током при алгебраическом сложении, зависит от того, совпадает ли направление этого тока с выбранным положительным направлением тока в ветви или противоположно ему.

 

Метод эквивалентного преобразования треугольника и звезды сопротивлений

На рис. 6.10, а дана электрическая цепь с одним источником питания, широко применяемая в области электрических измерений. Особенностью этой цепи является наличие в ней соединений, называемых треугольником и звездой. Треугольником сопротивлений называют соединение трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами. В схеме рис. 6.10, а имеется два треугольника с сопротивлениями г1, г2, г3 и г3, г4, г5.

Звездой сопротивлений называют соединение трех ветвей, имеющих общий узел. На рис. 6.10, а звезду сопротивлений образуют ветви с сопротивлениями г2, г3, г5 и г1, г3, г4. Любой треугольник сопротивлений можно заменить эквивалентной звездой. В результате замены получается другая схема, позволяющая упростить расчет. Например, схема рис. 6.10, а после замены треугольника сопротивлений г1, г2, г3 эквивалентной звездой rА, гб,гВ упрощается (рис. 6.10, б) и содержит только последовательно и параллельно соединенные участки.

Эквивалентность треугольника и звезды сопротивлений заключается в том, что их замена не изменяет потенциалов узловых точек (на схеме рис. 6.10, а точек А, Б, В), являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды. Не изменяются также токи, напряжения и мощности в остальной части схемы, не затронутой преобразованием. Для перехода от треугольника сопротивлений к эквивалентной звезде пользуются следующими формулами:

Сопротивление гА луча А равно произведению двух сопротивлений треугольника, сходящихся в узле А, деленному на сумму всех сопротивлений треугольника. Так же определяются сопротивления гБ и гВ. Вернемся к схеме рис. 6.10,6. Ее легко рассчитать и определить токи I, I4 и I5, которые не изменились после замены треугольника эквивалентной звездой. Остальные токи I1, I2 и I3 находят из уравнений по законам Кирхгофа, составленных для исходной электрической схемы цепи (рис. 6.10,а).

В некоторых электрических цепях расчет упрощается после замены трехлучевой звезды сопротивлений эквивалентным треугольником. При преобразовании звезды в эквивалентный треугольник пользуются следующими формулами:

 

что посмотреть и куда сходить в ялте и окрестностях.
Расчет сечения проводов по допустимому нагреву