Курс лекций по физике Электротехника

Закон Ома Расчет электрических цепей Электрические машины переменного тока Электронные усилители и генераторы Трехфазные выпрямители inreutov.ru

Сложные электрические цепи постоянного тока

Общие сведения

Электрические цепи с последовательно-параллельным соединением приемников энергии при питании их от одного источника электрической энергии, а также одноконтурные цепи называют простыми цепями. Расчет этих цепей осуществляется по формулам закона Ома и первого закона Кирхгофа. При этом заданные сопротивления часто заменяют одним эквивалентным. Так, цепь на рис. 6.1, а можно привести к элементарному виду с одним эквивалентным сопротивлением г, подключенным к источнику энергии с ЭДС Е1 (рис. 6.1,6). В данном случае r=г1+г2г3/(г2+гз). Электрические цепи с несколькими контурами, состоящими из разных ветвей с произвольным размещением потребителей и источников энергии, называются сложными электрическими цепями. Сложные электрические цепи рассчитывают методами: 1) узловых и контурных уравнений; 2) контурных токов; 3) узлового напряжения; 4) наложения (суперпозиции); 5) эквивалентного преобразования треугольника и звезды сопротивлений.

В первом методе используются первый и второй законы Кирхгофа. Первый за кон был рассмотрен в § 4.3.

Второй закон Кирхгофа

Сложная электрическая цепь (рис. 6.2, а) имеет два узла (Б и Д) и три ветви с токами I1, I2 и I3. Обозначим контуры цепи I — АБДЕА; II — АБВГДЕА; III — БВГДБ. В контуре АБДЕА включены ЭДС Е1, Е1 и сопротивления г1, г3, г2, на которых создаются падения напряжения: U1 = I1г1; U3 = I2г3; U2 = I1r2. Если точку А заземлить, то ее потенциал будет равен нулю. Потенциалы точек Б и Д выразятся следующим образом: фБ = фА –I1г1; фД = фБ–Е2 + I2г3 = фА–I1г1 – Е2+I2г3. Если от потенциала фД отнять падение напряжения I1г2 и прибавить к нему ЭДС Е1, то получим потенциал фA: фД – I1г2+Е1 = фА, или фА–I1г1–Е2+12г3 – I1г2+Е1 = фА. В левой части полученного равенства оставим ЭДС Е1 и Е2, а все остальные его члены перенесем в правую часть. Тогда получим — Е2+Е1 = фА+I1г1 — I2г3+I1г2 — фА или — Е2 + Е1 = I1г1—I2r3 + I1r2. В левой части этого уравнения записана алгебраическая сумма ЭДС, действующих в первом контуре, а в правой — сумма падений напряжения во всех сопротивлениях, входящих в этот контур. В общем виде для любого контура

∑E = ∑Iг.

Равенство (6.1) является математическим выражением второго закона Кирхгофа: в любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений в отдельных сопротивлениях. Для каждого контура сложной электрической цепи по второму закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение.

При этом особое внимание следует обратить на знаки ЭДС и падение напряжения. Вначале произвольно выбирают направление обхода контура. Если действующая в контуре ЭДС совпадает с направлением обхода, то ее считают положительной, при обратном направлении ЭДС отрицательна. Падение напряжения на сопротивлении считают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода контура.

В электрических цепях встречаются элементы с выводами, на которых имеются напряжения U (сеть напряжения, делитель напряжения и т. д.). В этом случае удобнее использовать следующую форму записи второго закона Кирхгофа: ∑Е = ∑Ir + ∑U. При этом ЭДС напряжения и токи, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура, записываются в соответствующую часть уравнения с положительным знаком. В противном случае эти же величины записываются с отрицательным знаком. Например, для контура (рис. 6.2, б) при обходе его по часовой стрелке имеем

Е1 — Е2 = I1(rвн1 +r1) + I4r4 — I2 (rвн2 + r2) — I3г3— U .

Расчет сложных цепей методом узловых и контурных уравнений

В методе узловых и контурных уравнений применяются два закона Кирхгофа. Пусть сложная цепь (рис. 6.2, а) имеет следующие данные: Е1 = 100 В, Е2 = 50 В, г1 = г2 = 10 Ом , г3 = г4 = 20 Ом. Требуется определить токи I1, I2, I3 в ветвях. Сначала на схеме укажем их направления. Токи I1 и I2 направим к узловой точке Б, а ток I3 — от нее. Указанные направления токов выбирают произвольно и условно считают положительными. После этого составим уравнения по законам Кирхгофа, число которых должно быть равно числу неизвестных токов. В данном случае требуются три уравнения. Сначала составляют более простые уравнения по первому закону Кирхгофа. Их число всегда на единицу меньше числа узлов цепи. В схеме, изображенной на рис. 6.2, а, имеется два узла: Б и Д. К узлу Б подходят токи I1 и I2, а отходит от него ток I3. Поэтому

I1 + I2 = I3.

Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа. Для контура АБДЕА Е1 — Е2 = I1(г1 + г2) — I2г3. Подставив сюда числа известных величин, получим 100 — 50 = I1 (10+10) — I2 20 или 50 = 20I1 — 20I2. Наконец, после сокращения на 10 будем иметь

5 = 2I1 —2I2.

Третье независимое уравнение можно составить для контура БВГДБ: Е2 = I2r3 + I3r4. Подставив в это уравнение числа известных величин, получим

50 = 20I2 + 20I3, или 5 = 2I2 + 2I3.

Для того чтобы контурные уравнения были независимыми, их составляют по следующему правилу: каждое очередное уравнение должно составляться для контура, отличного от предыдущих хотя бы одной новой ветвью. Итак, составив три независимых уравнения (6.2) — (6.4), в которых неизвестными являются токи I1, I2 и I3, и решив их, найдем искомые токи. Значение тока I3 = I1+I2 (рис. 6.2, а) подставим в (6.4). Тогда получим 5 = 2I2 + 2(I1 + I2) или 5 = 4I2 + 2I1 Отсюда

I2 = (5-2I1)/4.

Полученный ток I2 подставим в (6.3): 5 = 2I1– 2 , или

5 = 2I1 – 2,5 + I1. Отсюда 3I1 = 7,5, а I1 = 7,5/3 = 2,5 А. Из (6.5)

I2 = 0, а из (6.2) I3 = I1 +I2 = 2,5 А. После решения (6.2) — (6.4) получены токи I1 и I3 с положительным знаком Значит, действительное направление этих токов совпадает с выбранным направлением, указанным на схеме стрелками (рис. 6.2,а). Если какой-либо ток при расчете окажется отрицательным, то из этого следует, что он в действительности проходит в направлении, противоположном выбранному. В данном примере ток I2 получился равным нулю потому, что разность потенциалов между точками Б и Д оказалась равной ЭДС Е2.

 

Метод контурных токов

Метод узловых и контурных уравнений в ряде случаев требует больших вычислений. Например, при расчете цепи (рис. 6.3), имеющей три узла (А, В, Г) и пять ветвей, требуется составить и решить систему из пяти уравнений.

Число уравнений системы можно сократить, применив метод контурных токов. Для расчета по методу контурных токов схему сложной цепи разбивают на отдельные контуры — ячейки. Например, схему рис. 6.3 разбивают на три контура: контур I —АБВЕА, контур II — АЕВДГА и контур III — ВГДВ. Затем каждому контуру приписывают произвольно направленный контурный ток, одинаковый для всех участков данного контура. На

рис. 6.3 контурные токи II, III, IIII отмечены индексами контуров, а токи в ветвях I1, I2, …, I5 — индексами ветвей, причем всем контурным токам дано одно и то же положительное направление — по часовой стрелке. Контурные токи, проходящие по внешним ветвям, являются для них действительными токами, например токи II = I1, III = I4, IIII = I5. Действительные токи внутренних ветвей можно найти как разность токов двух контуров, в которые входит эта ветвь. Так, на рис. 6.3 токи I2 = III —II, I3=III–IIII. Выбрав и указав на схеме направления контурных токов, для каждого контура составляем уравнение по второму закону Кирхгофа. Направление обхода контуров принимается совпадающим с направлением контурных токов. Для схемы рис. 6.3 имеем три уравнения для контуров:

E1 — E2 = I1 (r1+r2) - IIIг2; Е2 + Е3 = III (г2 + г3 + г4) — IIг2 — IIIIг3;

— Е3 = IIII(г5 + г3) — IIIг3.

Левая часть каждого уравнения — алгебраическая сумма ЭДС, включенных в контур, а правая — общее падение напряжения в контуре от контурных токов. Подставляя в систему уравнений сопротивления и ЭДС и решая их совместно, находят контурные токи II, III, IIII. Токи в ветвях схемы легко определить по контурным токам.

Расчет сечения проводов по допустимому нагреву