Курс лекций по физике Электротехника

Закон Ома Расчет электрических цепей Электрические машины переменного тока Электронные усилители и генераторы Трехфазные выпрямители

Параллельное соединение конденсаторов

В § 2.4 было сказано, что при последовательном соединении конденсаторов их эквивалентная емкость уменьшается, а общее допустимое рабочее напряжение увеличивается. Так, цепь с последовательным соединением трех конденсаторов с одинаковой емкостью 3 мкФ и допустимым рабочим напряжением 200 В можно заменить одним конденсатором емкостью 1 мкФ и допустимым рабочим напряжением 600 В.

На практике часто требуется увеличить не допустимое рабочее напряжение, а эквивалентную емкость, для чего конденсаторы соединяют параллельно (рис. 2.5). При этом их подключают к одним и тем же зажимам — полюсам источника энергии. Следовательно, они находятся под одним напряжением, т. е. U1= U2= U3=U.

Заряды на обкладках отдельных конденсаторов прямо пропорциональны их емкости:

Ql = C1U; Q2=C2U; Q3=C3U.

Общий заряд равен сумме зарядов на, отдельных конденсаторах:

Q = Q1 + Q2 + Q3.

Эквивалентная емкость трех параллельно соединенных конденсаторов

C=Q/U=(Q1 + Q2 + Q3)/U =

= С1 + С2+С3.

Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов эквивалентная емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

Это объясняется тем, что при параллельном соединении как бы увеличивается общая поверхность каждой из разноименно заряженных пластин.

 

Смешанное соединение конденсаторов

1. Определение эквивалентной емкости. На рис. 2.6, а показана одна из возможных схем смешанного соединения конденсаторов (последовательного и параллельного). Поэтому при расчете таких электростатических цепей пользуются формулами для последовательного и параллельного соединения конденсаторов. Покажем это на следующем примере.

Пример 2.3. В схеме рис. 2.6, а дано напряжение U = 100 В и емкости всех конденсаторов: С1 = 6 мкФ; С2 = 1,5 мкФ; С3 = 3 мкФ; С4 = 3 мкФ; С5 = 6 мкФ. Определить эквивалентную емкость всей цепи, заряд и напряжение на каждом конденсаторе.

Решение. Конденсаторы С2 и С3 соединены последовательно. Их заменим одним конденсатором с эквивалентной емкостью:

С23=С2Сз/(С2 + С3) = 1,5·3/(1,5 + 3)= 1 мкФ.

Аналогично этому конденсаторы С4 и С5 заменим эквивалентным конденсатором емкостью

С45 = С4С5/(С4 + С5) = 3 • 6/(3 + 6) = 2 мкФ.

После замены схема рис. 2.6, а упростится и примет вид, показанный на рис. 2.6, в. Емкости Си и С4о соединены параллельно. Их эквивалентная емкость С2-5 = С23 + С45= 1+2= 3 мкФ. При этом схему рис. 2.6, б можно заменить схемой рис. 2.6, в. Емкости С1 и С2-5 соединены последовательно. Поэтому их эквивалентная емкость

С = С1С2-5/(С1 +С2-5) = 6 • 3/(6 + 3) = 2 мкФ.

Таким образом, постепенно преобразуя схему рис 2.6, а, приводим ее к простейшему виду с одной емкостью (рис. 2.6, г).

2. Электрический заряд и напряжение конденсаторов. Определим электрический заряд эквивалентного конденсатора:

Q = CU = 2 • 10-6 • 100 = 200 • 10-6 Кл .

Такой же заряд будет на конденсаторах емкостью С1 и С2-5 (рис. 2.6,в), т.е. Q1 = Q2-5 = 200 × 10-6 Кл.

Учитывая это и используя (2.7), находим напряжения:

U1 = Q1/C=200 × 10-6/(6•10-6) = 33,3 В;

U2-5 = Q2-5/C2-5 = 200 × 10-6/(3•10-6) = 66,7 В.

Напряжение батареи конденсаторов

U= U1 + U2-5 = 33,3 + 67,7= 100 В.

Напряжение на конденсаторах емкостью С23 (рис. 2.6,6) равно напряжению на конденсаторах емкостью С45: U23= U45 = 66,7 В. Значит, заряд Q23 = С23U23 = 1 • 10-6 • 66,7 = 66,7 × 10-6 Кл, a Q45 = С45U45 = 2•10-6•66,7= 133,4•10-6 Кл.

Конденсаторы С2 и С3 соединены последовательно. Поэтому они имеют одинаковый заряд: Q2= Q3 = Q23 = 66,7 • 10-6 Кл.

Аналогично этому конденсаторы С4 и C5 имеют одинаковые заряды: Q4 = Q5 = Q45 = 133,4 • 10-6 Кл.

Находим напряжения U2, U3, U4, U5 по известным значениям электрических зарядов и емкости:

U2 = Q2/C2 = 66,7 • 10-6/(1,5•100-6) = 44,5 В;

U3 = Q3/C3 = 66,7 • 10-6/(3•100-6) = 22,2 В;

U4 = Q4/C4 = 133,4 • 10-6/(3•100-6) = 44,5 В;

U5 = Q5/C5 = 133,4 • 10-6/(6•100-6) = 22,2 В;

Задание. Ответьте на вопросы контрольной карты 2.2.

Контрольная карта 2.2

Номера заданий

Содержание заданий

Ответы

Числа кода

Номера консультаций

При неправильном ответе повторите

части

пара-

граф

1

Из конденсаторов емкостью 1 мкФ и рабочим напряжением 300 В составлены четыре схемы (рис. 2.7, а — г). Назовите схему, эквивалентная емкость которой равна С, а рабочее напряжение Uр

Рис 2.7, а

Рис. 2.7,б

Рис. 2.7, в

Рис. 2.7, г

180 19

52

61

1,2

1,2

2.3 2.4

2.5

Значе-ния

Варианты

1-й

2-й

3-й

4-й

с,мкФ

4

0,25

0,75

1,0

Up, В

300

1200

400

600

2

В схеме рис. 2.8 известны емкости всех конденсаторов. Определить емкость эквивалентного конденсатора С

1,6 мкФ

0,75 мкФ

1 мкФ

76 117 135

1

2.5

Значения

Варианты

1,2 мкФ

154

1-й

2-й

3-й

4-й

с1,мкФ с2,мкФ с3,мкФ с4,мкФ

2

2

1

6

6

1

2

8

6

2

1

3

1,2

2

4

3

3

По данным задания 2 определить заряд и энергию электрического поля эквивалентного конденсатора,если напряжение цепи U = 200В.

320 · 110-6 Кл

3,2·110-2 Дж

200·110-6 Кл

2·10-2 Дж

150·110-6 Кл

1,5·10-2 Дж

240·10-6 Кл

2,4·10-2 Дж

171

193

195

214

2

2.5

2.2

4

По данным заданий 2 и 3 определить напряжение на четвертом конденсаторе U4

80 В

50 В

33,3 В

40 В

252

271

292

309

2

2.5

5

По данным заданий 2 и 3 определить напряжение на втором конденсаторе U2

106,7 В

25 В

80 В

66,7 В

227

222

125

243

2

2.5

 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2

2.1. Плоский конденсатор со слюдяным диэлектриком (εг = 6,28; Епр = = 80 кВ/мм) должен иметь емкость 200 пФ и работать при напряжении 20 кВ, имея четырехкратный запас прочности. Определить толщину диэлектрика и площадь пластин конденсатора.

Ответ: d = 1 мм, S = 36 см2.

2.2. Многопластинчатый конденсатор (рис. 2.9) состоит из n одинаковых пластин с площадью S каждая. Расстояние между соседними пластинами d. Показать, что емкость такого конденсатора

C = εaS(n – 1)/d.

Ответ: при n = 5 образуется цепь из четырех параллельно соединенных конденсаторов емкостью С1 = εaS/d.

2.3. Двухпроводная воздушная линия выполнена медным проводом диаметром 4 мм и имеет длину 26,5 км. Расстояние между проводами 40 см. Определить емкость линии.

Ответ: С = 0,139 мкФ.

2.4. При последовательном соединении двух конденсаторов эквивалентная емкость равна 1,2 мкФ, а при параллельном — 5 мкФ. Определить емкость каждого конденсатора.

Ответ: 2 и 3 мкФ.

2.5. Конденсатор емкостью 2 мкФ заряжают до напряжения 110 В. Затем, отключив его от сети, замыкают на конденсатор неизвестной емкости. Определить емкость второго конденсатора, если известно, что он заряжается от первого до напряжения 44 В.

Ответ: С2 = 3 мкФ.

2.6. Емкость между соединительными деталями изоляторов (рис. 2.10) С1 = С2 = С3 = 6 • 10-11 Ф, а между соединительными деталями и опорой С4 = С5 = С6 = 4 • 10-11 Ф. Определить распределение напряжения между тремя подвесными изоляторами гирлянды, если напряжение между проводом и землей 20 кВ.

Ответ: 11,27; 5,45; 3,28 кВ.

2.7. Емкость конденсаторов (рис. 2.11) равна: C1 = 2 мкФ, С2 = 3 мкФ, С3 = 6 мкФ. Определить эквивалентные емкости относительно зажимов 1—2, 2—3, 3—1.

Ответ: С12 = 4 мкФ, С23 = 4,5 мкФ, С31 = 7,2 мкФ.

2.8. Диэлектрик плоского конденсатора, площадь каждой пластины которого S = 100 см2, состоит из двух слоев: парафинированной бумаги и миканита (рис. 2.12). Толщина слоев d1=d2=0,l мм. Относительная диэлектрическая проницаемость первого слоя εг1 = 4,3, второго слоя εг2 = 5,2. Определить емкость конденсатора и распределение напряжения между слоями, если конденсатор находится под напряжением U = 220 В.

Решение. Для вычисления емкости конденсатора предположим, что между слоями диэлектрика помещена металлическая пластина площадью S ничтожной толщины. Внесение такой металлической пластины не окажет влияния на электрическое поле конденсатора, так как поверхность раздела диэлектриков остается эквипотенциальной. Из изложенного следует, что конденсатор с двухслойным диэлектриком можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора.

Емкость первого конденсатора

С1 = εг1ε0S/d1 = 4,3 • 8,85 • 10-12 • 100 • 10-4/(0,1 • 10-3) =38•110-12 Ф

второго

С2 = εг2ε0 S/d2 = 5,2•8,85•110-12•100•10-4/(0,1 • 10-3) = 46 • 10-12 Ф.

Емкость плоского конденсатора

С= С1С2/(С1 + С2) = 38 • 10-12•46• 10-12/(38•10-12 +46•10-|2) = 20,8•10~ 2 Ф.

При последовательном соединении конденсаторов заряды на всех пластинах равны; следовательно,

Q = CU= 20,8 • 10-12 • 220 = 4576 • 10-12 Кл.

Напряжения на конденсаторах

U1 = Q/C1 = 4576 •10-12/(38•10-12) = 120 В;

U2 = Q/C2 = 4576 • 10-12(46 • 10-12) = 100 В .

2.9. Между пластинами плоского конденсатора помещены два диэлектрика одинаковой толщины d1 = d2 = 0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость первого диэлектрика εг1 = 4,3, электрическая прочность Eпр1 = 10 кВ/мм. Для второго диэлектрика εг2 = 5,2, Епp2=15 кВ/мм. Поверхность каждой пластины S = 200 см2. Определить емкость конденсатора и запас электрической прочности второго диэлектрика, соблюдая четырехкратный запас прочности первого диэлектрика.

Ответ: С = 41,6 пФ, k2 = 7,28.

Расчет сечения проводов по допустимому нагреву