Курс лекций по физике Электротехника

Закон Ома Расчет электрических цепей Электрические машины переменного тока Электронные усилители и генераторы Трехфазные выпрямители

Теорема Гаусса. Электрическое поле плоского конденсатора

1. Поток вектора напряженности электрического поля. Для определения напряженности электрических полей, обладающих симметрией, применяется теорема Гаусса. Перед доказательством этой теоремы познакомимся с величиной, которая называется потоком вектора напряженности электрического поля (N). Рас­смотрим рис. 1.6: в однородном электрическом поле перпендику­лярно вектору напряженности расположена плоская поверхность S. В данном случае произведение ES и составляет поток вектора напряженности через указанную площадь: N=ES.

Если однородное электрическое поле изобразить силовыми линиями и их плотность (число линий на единицу площади S) принять равной напряженности поля, то общее число линий, про­низывающих площадь S, будет выражать поток вектора напря­женности N.

Если вектор напряженности однородного поля Е не перпенди­кулярен площади S (рис. 1.7), то поток вектора напряженности N = EнS = ES cos β, где Ен = E cоs β — нормальная составляющая напряженности электрического поля.

При вычислении потока вектора напряженности через поверх­ность площадью S в неоднородном поле эту поверхность следует разбить на малые элементы ΔS (или dS). Будем считать, что в пределах каждого такого элемента напряженность поля одина­кова. Тогда поток через отдельные элементарные площади ΔN = ЕнΔS.

Поток вектора напряженности через всю поверхность, нахо­дим, суммируя (интегрируя) элементарные потоки: N = фEнdS. Здесь знак ф указывает, что сумма берется по замкнутой поверх­ности.

2. Теорема Гаусса. Рассмотрим рис. 1.8. В центре шаровой поверхности радиусом R находится точечное тело с положитель­ным зарядом Q. Электрические силовые линии направлены от заряда и перпендикулярны сферической поверхности.

Ввиду сим­метрии напряженность поля во всех точках указанной поверхно­сти одинакова: Е= Q/(4πR2εa). Учитывая, что поверхность шара S = 4πR2, определим поток вектора напряженности электрическо­го поля через эту поверхность:

Можно доказать, что выражение (1.4) справедливо для замк­нутой поверхности любой формы при любом количестве заряжен­ных тел, расположенных внутри этой поверхности. В (1.4) в этом случае следует ввести алгебраическую сумму зарядов всех тел: N = ∑Q/εa. Равенство (1.4) и выражает теорему Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля, пронизывающий замкнутую поверхность любой формы, равен алгебраической сум­ме зарядов, находящихся внутри указанной поверхности, делен­ной на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды.

3. Электрическое поле заряженной пластины. На рис. 1.9 по­казана металлическая пластина очень больших размеров, равно­мерно заряженная положительным электричеством Q. Отношение величины заряда Q к площади пластины S называют поверхност­ной плотностью заряда а, т. е. σ = Q/S.

Из всей площади 5 выделим некоторую площадку S1. Элект­рический заряд на ней Q1 = σS1. Затем построим параллелепипед так, чтобы заряд Q1 остался внутри него, а его грани были пер­пендикулярны площади S. Так как пластина заряжена положи­тельным электричеством, то электрические силовые линии на­правлены в обе стороны от плоскости и перпендикулярны ей. Та­ким образом, параллелепипед образует замкнутую поверхность, внутри которой находится заряд Q1. Причем электрические сило­вые линии пронизывают только торцевые части параллелепипеда. Если напряженность электрического поля пластины обозначить Епл, то поток вектора напряженности, пронизывающий две торце­вые поверхности параллелепипеда, N=2EплS1. Этот же поток вектора напряженности можно определить по теореме Гаусса: N = Q1/εa=σS1/εa. Приравнивая правые части этих равенств, получим 2ЕплS1 = σS1/εa.

Отсюда найдем напряженность элект­рического поля одной заряженной металлической пластины:

4. Электрическое поле плоского конденсатора. Плоский кон­денсатор состоит из двух металлических пластин одинаковых размеров, разделенных изоляционным материалом (рис. 1.10). Расстояние между ними мало по сравнению с их линейными размерами. Каждая из пластин конденсатора создает свое элект­рическое поле. Электрические силовые линии электрического поля положительно заряженной пластины направлены от нее и на ри­сунке показаны сплошными линиями. Силовые линии отрицатель­но заряженной пластины направлены к ней. На рисунке они показаны пунктирными линиями. Легко заметить, что между пластинами сплошные и пунктирные линии направлены одинако­во, а за пределами пластины — в разные стороны. Поэтому вне пластины поля положительной и отрицательной пластин взаимно скомпенсированы, т. е. результирующая напряженность поля равна нулю (Е = 0). Между пластинами заря­женного плоского конденсатора создается однородное электрическое поле, напряжен­ность которого в два раза больше напряжен­ности одной пластины, т. е.

Напряженность электрического поля плоского конденсатора равна поверхностной плотности заряда, деленной на абсолютную диэлектрическую проницаемость его диэлект­рика.

В средней части пластин конденсатора силовые линии параллельны и расположены с одинаковой плотностью.

Такое поле называют однородным. Вблизи краев пластин силовые линии искривляются и поле будет неоднородным.

Пример 1.3. Площадь каждой пластины плоского конденсатора S=100 см2. Пластины разделены парафинированной бумагой и имеют заряды Q = 4,3×10-10 Кл. Определить напряженность электрического поля конденсатора.

Решение. Площадь пластин S = 100 см2 = 100·10-4 м2.

Из табл. 1.1 находим относительную диэлектрическую проницаемость парафи­нированной бумаги εг = 4,3. Поверхностная плотность заряда σ = Q/S = 4,3×10-10/(100·10-4) = 4,3·10-8 Кл/м2.

Напряженность электрического поля между пластинами плоского конденсато­ра Е = σ/εа = 4,3·10-8/[4,3·(1/36π·109)]=36π·109·10-8 = 1 130 В/м.

Задание. Ответьте на вопросы контрольной карты 1.3.

Контрольная карта 1.3

Но мер за­да­ний

Содержание заданий

Ответы

Чис ла ко­да

Номе

ра

кон-

суль-

тацш

- При непра­вильном ответе повторите

час ти

пара­граф

1

Определить поток вектора напряжен­ности электрического поля точечного за­ряда Q = 4,4-10-11 Кл, помещенного в центре сферической (шаровой) поверх­ности. Относительная проницаемость среды εг = 2,2

N=5 В·м

N= 2,26

В·м N=2B·м Задачу решить нельзя, так как неизвест-тен ради­ус сфери­ческой поверх­ности

9

13

32

67

1,2

1.3

2

Заряженный шар радиусом R имеет поверхностную плотность заряда σ. Опре­делить напряженность электрического по­ля для точек, расположенных на расстоя­нии r = R; r= 2R; r= 4R; r= 10R.

По полученным данным построить гра­фик Е = f(r)

180л В/м

14,4л В/м

540л В/м

45л В/м

71

93

110

237

2,3

1.3

Значе­ния

Варианты

1-й

2-й

3-й

4-й

R, см

σ, Кл/м2

5

2·10-8

10

1,5·10-8

4

4·10-8

6

2·10-8

3

Определить напряженность электриче­ского поля плоского конденсатора, если площадь его пластины S и заряд Q. Абсо­лютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика εа = 50-10-12 Ф/м

600 В/м

800 В/м

1000 В/м

400 В/м

130 148 188 206

4

1.3

Значе­ния

Варианты

1-й

2-й

3-й

4-Й

S,см2

Q,Кл

100

5·10-10

150

4,5·10-10

200

4·10-10

250

10·10-10

4

По данным задания 3 определить на­пряженность электрического поля, созда­ваемого одной заряженной пластиной конденсатора в непосредственной близо­сти от нее

500 В/м

300 В/м

400 В/м

200 В/м

226

232

266

288

3

1.3

5

Как изменится напряженность электри­ческого поля плоского конденсатора, если не изменяя величины заряда, увеличить расстояние между его пластинами в два раза? Расстояние между пластинами кон­денсатора мало по сравнению с размера­ми пластин

Увеличи­тся в два раза Умень-шится в два раза Не изме­нится

305

317 88

4

1.3

Расчет сечения проводов по допустимому нагреву