Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Закон Ома Расчет электрических цепей Электрические машины переменного тока Электронные усилители и генераторы Трехфазные выпрямители

Модифицированный метод узловых потенциалов, использующий одиночный граф

Метод узловых потенциалов является достаточно эффективным и успешно используется для многих приложений, но он не пригоден для схем, содержащих элементы, которые не могут быть описаны через проводимость.

Опишем формальные действия, которые нужно выполнить для того, чтобы с помощью метода узловых потенциалов составить уравнения цепи с произвольными идеальными элементами. Идея заключается в разделении элементов на 3 группы: первая группа сформирована из элементов, которые можно и удобно описать с помощью проводимостей; для элементов второй группы такое описание невозможно; третья группа – независимые источники тока.

Начальные токи в катушках индуктивности и начальные напряжения на конденсаторах учтем с помощью эквивалентных источников. Упорядочим элементы цепи таким образом, чтобы уравнения Кирхгофа для токов можно было записать в форме

 (5)

где А1, А2, АЗ - блоки матрицы А.

Упорядочение производится следующим образом:

1. Вектор I1 содержит токи тех элементов, которые можно и удобно представить через их проводимости. Эти токи можно не определять при решении системы уравнений.

2. Вектор I2 включает в себя токи через элементы, которые невозможно или неудобно представить в виде проводимости. Кроме того, сюда входят токи источников напряжений и токи ветвей, которые необходимо определить из решения уравнения.

3. Вектор J содержит независимые источники токов.

Уравнения Кирхгофа для напряжений упорядочиваются совершенно аналогично:

. (6)

Уравнение (6) представляет собой три отдельных матричных уравнения:

 (7)

 (8)

. (9)

Уравнение (9) используется для расчета напряжений на источнике тока после того, как найдены узловые потенциалы Vn. Для элементов, входящих во вторую группу, компонентные уравнения можно записать следующим образом:

, (10)

где вектор WB содержит ненулевые элементы только для источников напряжения, в том числе учитывающие влияние начальных условий в катушках индуктивности.

Чтобы комплексная переменная s=G+jw входила в качестве множителя, емкости определяются через проводимость конденсаторов, а индуктивности - через импедансы катушек индуктивности. В таблице представлены значения YB, ZB и WB для основных двухполюсных элементов электрических цепей.

Элемент

Компонентное уравнение

Значение YB

Значение ZB

Значение WB

Элементы первой группы

Проводимость

GBVB-IB = 0

GB

-1

0

Конденсатор

sCBVB-IB = CBV0

sCB

-1

CBV0

Источник тока

IB = JB

0

 1

JB

Элементы второй группы

Резистор

VB-RBIB = 0

1

-RB

0

Катушка индуктивности

VB-sLBIB = -LBI0

1

-sLB

-LBI0

Источник напряжения

VB = EB

1

0

EB

CBV0 – источник импульсного тока, LBI0 – источник импульсного напряжения.

Для элементов первой группы компонентные уравнения представимы в виде

. (11)

Перепишем уравнение (5)

и, используя (11), преобразуем к виду

. (12)

Напряжение на элементах, входящих в первую группу, можно исключить с помощью соотношения (7)

. (13)

Аналогично, подставив (8) в (10), получим

. (14)

Уравнения (13) и (14) можно объединить в одном матричном уравнении

 . (15)

Вектор неизвестных состоит из подвектора узловых потенциалов и подвектора токов элементов второго типа. Обозначим

 (матрица узловых проводимостей);

 (вектор эквивалентных узловых источников тока).

Конечная форма уравнений модифицированного метода узловых потенциалов на основе общего графа имеет вид

 (16)

После решения системы (16) все остальные токи можно вычислить, используя соотношения (11), а напряжения на элементах, - используя соотношение (6).

Заметим, что первую строку системы (16) занимают уравнения Кирхгофа для токов, составленные для узлов цепи. Эта система уравнений сохраняет достоинства как метода узловых потенциалов, так и табличного.

Формальное описание модифицированного узлового метода с помощью одиночного графа позволило исключить все напряжения на элементах и токи в тех ветвях, которые можно описать с помощью проводимостей. Но при этом не исключаются лишние переменные, которые заранее известны (например, входные токи зависимых источников управляемых напряжением и др.) Опираясь на подход, изложенный выше, в [1] предложен метод, который позволяет исключить некоторые излишние переменные. В результате получен важный в практическом отношении для применения на ЭВМ неформальный метод формирования уравнений цепи на основе одиночного графа.

Используя формулу (11), определим вначале все элементы, которые можно описать через проводимости. Обозначим размер Y-блока матрицы m = n, где
n - число незаземленных узлов. Будем увеличивать порядок основной матрицы при введении элемента второй группы, который нельзя описать через проводимость. Компонентное уравнение этого элемента добавляется к системе (следующая строка матрицы цепи), а ток, втекающий в этот элемент, вводится как новая переменная (следующий столбец матрицы цепи). Чтобы упростить программирование, вводятся простые допущения. Определяются две матрицы G и C одинакового размера N (где N больше m). Определяется также вектор W размерностью N. В этот вектор включаются все величины: J, E, CV0, LI0. Все активные проводимости и коэффициенты, соответствующие частотно-независимым элементам, включаются в матрицу G, а все емкости, индуктивности и другие параметры элементов, зависящие от частоты,
в матрицу С. Всё индуктивности представляются в импедансной форме. После завершения формирования матриц G и C, а также вектора W общую матрицу системы для любого значения комплексной переменной s можно записать в виде

A = G +sC, (17)

где s = jw, и затем найти решение полученной системы уравнений Аx=W.

Допустим, что все активные проводимости, передаточные проводимости ИТУНов включены в матрицу G. Все емкости конденсаторов включены в матрицу C, а токи источников в вектор источников. При этом заполнен будет только левый верхний угол матрицы. Рассмотрим теперь источник напряжения. Узлы его подключения обозначены как j, j', и напряжение источника удовлетворяет соотношению Vj - Vj' = E. Это компонентное уравнение независимого источника напряжения, записанное через узловые потенциалы цепи, добавляется к системе уравнений. Между выводами j, j' протекает ток I. Ради общности обозначений условимся считать ток, втекающий в j-й или k-й узел, положительным. Тогда для источника напряжения Ij = I, Ij' = -I. Эти токи учитываются в уравнениях Кирхгофа для токов в качестве новой переменной: I в j-й, а -I в j'-й строке. При этом матрица и вектор источников будут иметь следующую форму:

Увеличение порядка матрицы получается за счет появления (m+1) строки и столбца. Допустим, что один из зажимов источника напряжения, например j-й, заземлен. Тогда из матриц G и C исключаются j-е строка и столбец.

Для источника напряжения управляемого напряжением (ИНУН) справедливы следующие уравнения:

 (18)

К системе компонентных уравнений (см. прил. 1) добавляется одна дополнительная строка, а также дополнительный столбец, соответствующий неизвестному току I:

.

Для основных идеальных элементов компонентные уравнения в такой форме приведены в прил. 1.

 

Модифицированный метод узловых потенциалов, использующий графы тока и напряжения

Формально двухграфовый модифицированный метод узловых потенциалов сводится к группированию компонентных уравнений. Разделение уравнений Кирхгофа для токов и напряжений должно соответствовать группам компонентных уравнений. Далее индекс "u" относится к V-графу, а индекс "i" - к I-графу. Кроме того, будут использоваться следующие обозначения:

исходные узлы цепи - цифрами в кружочке;

перенумерованные узлы I-графа - цифрами в квадратике;

перенумерованные узлы V-графа – цифрами в треугольнике.

Нумерация ветвей графов тока и напряжения проводится независимо. Пусть компонентные уравнения разбиты на следующие группы:

I1=Y1V1 (проводимости);

V2=Z2I2 (сопротивления);

I3=J3 (источники тока);

VЗ=En (источники напряжения); (19)

I4=αI5 (ИТУТ);

V5=μV5 (ИНУН);

Y6V6+Z6I6=W (произвольные многополюсные цепи).

Поскольку существует шесть типов компонентных уравнений со стороны токов и напряжений, матрицы Аi, Au могут быть поделены на шесть подматриц. Уравнения Кирхгофа для токов (1) принимают вид

 Аi1I1+Аi2I2+Аi3I3+Ai4I4+Аi5I5+Аi6I6=0 . (20)

Закон Кирхгофа для напряжений записывается с помощью шести уравнений

  , k=1, 2, 3, 4, 5, 6 . (21)

Подставим выражения для I1, I3 и I4 из (19) в (20):

 Аi1Y1V1 + Аi2I2 + (Ai4α + Аi5)I5 + Аi6I6 = -А i3Jn . (22)

Исключим напряжение ветви V1, воспользовавшись первым
уравнением (21):

 . (23)

Теперь подставим (21) в остальные уравнения (19):

 (24)

Уравнения (23) и (24) можно записать в матричной форме закона Киргофа для токов (ЗКТ)  


. (25)

Таково формальное выражение двухграфового метода. Воспользуемся этим выражением для выявления некоторых свойств метода.

Прежде всего обратим внимание на следующий результат: в (25) подматрица Аi1Y1АТu1 соответствует уравнениям Кирхгофа для токов I-графа, причем переменными являются узловые потенциалы, входящие в V-граф. В этой форме число строк и столбцов равно, соответственно, числу узлов I- и V-графов. Допустим, что проводимость Y представляется ветвью I-графа, идущей от узла ji к узлу j'i . Аналогично в V-графе эта ветвь идет от ju к j'u. Символьная форма включения этой проводимости в узловую подматрицу имеет вид:

. (26)

Если номер узла ji или j'i равен нулю, то из матрицы (26) исключается соответствующая строка. Аналогично, если номер узла ju или j'u равен нулю, то из этой матрицы исключается соответствующий столбец. Все элементы, не описываемые через проводимости, помещаются в остальные подматрицы. В прил. 2 приведены обычно используемые элементы, а также способ их описания в двухграфовых модифицированных матрицах узловых проводимостей.

Пример. Запишем уравнения с помощью двухграфового модифицированного метода узловых потенциалов для цепи на рис.2,а без составления матриц Ai, Au. Графы приведены на рис. 3.

 а б

Рис.3. Графы токов и напряжений для цепи на рис. 2,а

I-граф имеет два незаземленных узла, в то время как V-граф - четыре. Подматрица проводимостей будет иметь размер 2x4.

Элемент 1 не входит в матрицу, поскольку он начинается и заканчивается в одном узле I-графа. То же самое справедливо для входа и выхода управляемого источника (ветви 6 и 7). Остальные элементы включены в соответствии с изложенными выше правилами. Компонентное уравнение для источника напряжения V =E1, а для управляемого источника V -V =0. Эти уравнения добавляются к узловым.

Расчет сечения проводов по допустимому нагреву