Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Числовые последовательности и функции. Пределы последовательностей и функции

Математика примеры решения задач

Производная степенно-показательной функции

Пусть функция f(x) положительна и дифференцируема в точке x. Вычислим производную функции y = ln f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
y' = f'(x)/f(x).
Это выражение называется логарифмической производной f(x). Пусть задана функция y = f(x)g(x), f(x)>0, причем f(x), g(x) - дифференцируемые функции в данной точке. Вычислим производную этой функции. Найти объем области U, заданной неравенствами Тройные и двойные интегралы при решении задач

При этих ограничениях функция z(x) = ln y(x) = g(x)ln f(x) будет дифференцируемой в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции. Используя правило дифференцируемости произведения, найдем

(ln y(x))' = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x). Физический смысл дифференциала. Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент . Использование дифференциала для приближенных вычислений
Или
y'(x)/y(x) = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).
Отсюда

y'(x) = (f(x))g(x)(g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x)).

Пример 8. Найти y', если y = (sin x)x. Найдем

ln y = xln sin x,
тогда дифференцируя обе части равенства, получим
y'/y = ln sin x +(xcos x)/sin x.
Тогда

y' = (sin x)x(ln sin x +(xcos x)/sin x).

Интегрирующий множитель

В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал .

Такая функция называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя или

(2)

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

1. Если , то и уравнение (2) примет вид

(3)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.

Пример 8.1. Решить уравнения

Решение. , , имеем , следовательно , ,

Уравнение в полных дифференциалах

Его можно представить в виде , откуда и общий интеграл данного уравнения

2. Аналогично, если есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от y.

Интеграл уравнения (1)

Основы дифференциального исчисления Производная функции, дифференциал функции, правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, производная неявной функции.
Интегральное исчисление функции одной переменной