Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Числовые последовательности и функции. Пределы последовательностей и функции

Математика примеры решения задач

Дифференцирование сложной и обратной функций

Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)).

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула
(f(f(t)))' = f'(x)f'(t). (3)

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде ( 1):

D y =f'(x)D x +a (D x) D x,
где limD x® 0a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t 0, будем иметь:
D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.
Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что
limD t® 0D x/D t = f'(t).
Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при D t® 0. Следовательно, limD t® 0a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу ( 3). Линейная алгебра и аналитическая геометрия Понятие матрицы. Ее виды и элементы.

Пример 5. Найти y', если y = 5cos x.

y' = 5cos x(-sin x)ln 5=-5cos x sin x ln 5.

Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель  - плотность тела в точке P.

 

Основы дифференциального исчисления Производная функции, дифференциал функции, правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, производная неявной функции.
Интегральное исчисление функции одной переменной