Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов.

Пример 17. Найти предел

Решение. Используя асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x® 0, найдем

Определение 19. Если f=o(g) при x® a и g(x) - бесконечно малая при x® a, то говорят, что f(x) - бесконечно малая более высокого по сравнению с g(x) порядка при x® a.

Пример 18. x2- бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x при x® 0 Исследование функций и построение их графиков

Определение 20. Если f(x), g(x) -бесконечно большие при x® a и f=o(g) при x® a, то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f .

Пример 19. Функции f=x3+x2+2x+1, g=x4+3x2 -бесконечно большие при x® Ґ, и так как limx® Ґ f/g=0, то g — бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f

 Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Отметим некоторые правила обращения с символами o(), O().

Предложение 2.

  1. o(f)+o(f) = o(f)
  2. o(f) тем более есть O(f)
  3. O(f)+O(f) = O(f)
  4. Если g 0, то o(f)/g=o(f/g), O(f)/g=O(f/g).

Найти пределы функций:

  1. limx® 1(4x5+9x+7)/(3x6+x3+1);
  2. limx® 2(x3+3x2-9x-2)/(x3-x-6);
  3. limx® 0(-3)/x;
  4. limx® -Ґ(-5x);
  5. limx® +Ґ()/(4x+2);
  6. limx® Ґ52x/(x+3);
  7. limx® p/6(sin (x-p/6))/(-2cos x);
  8. limx® 0(tg x-sin x)/x3;
  9. limx® 0(1-cos x)/x2;
  10. limx® Ґ(1+1/x)7x;
  11. limx® Ґ(x/(1+x))x;
  12. limx® 0ln(1+x)/(3x-1);
  13. limx® 0(e4x-1)/tg x;
  14. limx® e(ln x-1)/(x-e);
  15. limx® Ґ((2x2+3)/(2x2+5))8x2+3;
  16. limx® 1(1+sin p x)ctg p x.

 

Определенный интеграл. Определение определенного интеграла и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применения определенного интеграла. Несобственные интегралы, признаки сходимости несобственных интегралов.
Интегральное исчисление функции одной переменной