Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если

limx ® af(x) = 0

Пример 10.
f(x) = 1/x, x ® Ґ
f(x) = x2, x ® 0
f(x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция a (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+a, где limx® aa (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.
  3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой. Интегралы и их приложения Математика вычисление интеграла

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует limx® aa(x) = 0, следует, что " e>0 $ d1(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d1 выполняется неравенство
|a(x)|< e/2. Аналогично, из существования предела limx® a b(x) = 0, следует " e>0 $ d2(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d2
выполняется неравенство |b(x)|< e/2. Тогда " x: 0<|x-a|<d = min{d1,d2} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

|a(x)+b(x)|Ј |a(x)|+|b(x)|<e.

Определение 9 (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® Ґ. Приведем его в символической записи:

limx® Ґf(x) = Ґ Ы " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|>d |f(x)|>e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x® a Ы 1/a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11. y = x2 – бесконечно малая функция при x ® 0 , а y = 1/x2 – бесконечно большая при x ® 0.

 

Определенный интеграл. Определение определенного интеграла и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применения определенного интеграла. Несобственные интегралы, признаки сходимости несобственных интегралов.
Интегральное исчисление функции одной переменной