Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач


Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.

Определение 6 (предел функции в бесконечности).

limx ® Ґf(x) = A,
если
" e > 0 $ B(e) >0: " x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| < e

Определение 7.

limx ® af(x) = Ґ,
если
" A>0 $ d(A) > 0: " x 0<|x-a|< d, |f(x)| > A
limx ® Ґf(x) = Ґ, если " A>0 $ B(A)>0: " x |x|> B, |f(x)|> A

Аналогично формулируются определения при x® ±Ґ, а также определения, когда A = ±Ґ.

Замечание. Изученное понятие предела последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции при x® +Ґ.

Пример 4. Доказать, что limx ® 11/(x-1)2 = + Ґ Приложения определенного интеграла Математика вычисление интеграла

" e > 0 $ d(e)>0: " x 0<|x-1|< d выполняется 1/(x-1)2> e
1/|x-1|2>1/ d2> e

Замечание. Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть limx® a-0f(x) = A – предел слева или limx® a+0f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если limx® a-0f(x) = limx® a+0f(x) = A, то limx® a = A. Верно и обратное утверждение.

Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 21/x, при x ® 0.
limx ® 0-021/x = limx ® 0-02- Ґ = 0
limx ® 0+021/x = limx ® 0+02+ Ґ = + Ґ

Пределы не равны, следовательно limx® 0 21/x не существует.

 

Определенный интеграл. Определение определенного интеграла и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применения определенного интеграла. Несобственные интегралы, признаки сходимости несобственных интегралов.
Интегральное исчисление функции одной переменной