Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач


Фундаментальные последовательности.

Определение . Последовательность xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |xn-xm|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Определение 32(последовательность Коши). Последователь
ность

xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " p-натурального, |xn+p-xn| < e

Теорема 11 (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. Ряд Фурье для четных и нечетных функций Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале .[-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка.

Пример 24. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1)n не имеет предела . Очевидно, что |xn-xn+1| = 2, поэтому если выбрать e = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

$ e>0, $ n>N, $ m>N, |xn-xm|іe.

Пример 25. Рассмотрим последовательность

xn = 1+1/2+1/3+....+1/n Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |xn+p - xn| = 1/(n+1)+ ... + 1/(n+p) >p/(n+p) , то при p=n |xn+p - xn|>n/2n = 1/2 = e. Очевидно, что определение фундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка имеют вид

Если это уравнение можно разрешить относительно y то его можно записать в виде

Если в уравнении функция и её частная производная по y непрерывны в некоторой области D на плоскости XOY содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию при , которое называется начальным.

Общим решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется функция , которая зависит от одной производной const C и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении const C;

б) каково бы ни было начальное условие при т.е. можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

2. Уравнения с разделяющими переменными.

Уравнения вида , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

 

 

Интегральное исчисление функций одной переменной Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Линейные свойства операции неопределенного интегрирования, замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Таблица неопределенных интегралов. Основные классы интегрируемых функций.
Интегральное исчисление функции одной переменной