Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач


Арифметические операции над последовательностями.

Определение 30. Если xn,yn – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при yn 0 называются соответственно последовательности

{(xn± yn)},{(xnyn)},{(xn/yn}.

Справедлива теорема

Теорема 8(предел суммы, произведения, частного). Пусть

limn®Ґxn = A, limn®Ґyn = B,
тогда
  1. limn®Ґ(xn± yn) = A± B;
  2. limn®Ґxnyn = AB;
  3. limn®Ґxn/yn = A/B, при B 0.

Доказательство данной теоремы опирается на результат теоремы 6. Замена переменных. Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Предел и неравенства.

Теорема 9. Если

limn ® Ґxn = A,
limn ® Ґyn = B,
и A<B, то $ N: " n>N xn<yn.

Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности xn, yn, zn удовлетворяют при любом n>N условию: xn Ј yn Ј zn, причем

limn ® Ґ xn = limn ® Ґ zn = A.
Тогда
limn ® Ґyn = A.

Доказательство. Согласно определению предела " e > 0 $ N1: " n>N1 выполняется A- e < xn < A+ e " e > 0 $ N2: " n > N2, A-e < zn < A+ e Если N = max(N1,N2), тогда при n>N получим A-e<xn Ј yn Ј zn < A+ e. Следовательно,

|yn-A|< e.

Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a,b], и $ limn ® Ґxn = c, то c О [a,b].

 

Интегральное исчисление функций одной переменной Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Линейные свойства операции неопределенного интегрирования, замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Таблица неопределенных интегралов. Основные классы интегрируемых функций.
Интегральное исчисление функции одной переменной