Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Числовые последовательности и функции. Пределы последовательностей и функции

Математика примеры решения задач

Пример. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0. Найти неопределённый интеграл Математика примеры решения задач

Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0 :

D y = |D x|
Поэтому
limD x® -0D y/D x = -1, limD x® +0D y/D x = 1,
следовательно, функция |x| в точке x = 0 не дифференцируема.

Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если
функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде ( 1), из которого следует, что limD x® 0D y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.

Пример 8.1. Решить уравнение

Решение. Положим , тогда

т.к. , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

, ,

Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение

2. Уравнение вида

(2)

не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим

(3)

но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда

Подставляя выражение и в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка

Интегрируя его, найдём p, как функцию y и производной постоянной :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения

 

Основы дифференциального исчисления Производная функции, дифференциал функции, правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, производная неявной функции.
Интегральное исчисление функции одной переменной