Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач


Определение . Последовательность xn называется неограниченной, если

" c>0 $ N: |xN| > c

Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: xn = n.

Понятие предела числовой последовательности хорошо иллюстрируется на следующем примере. Пусть задана последовательность xn = 1/n. Изобразим ее члены точками на числовой оси (рис. 12).


Можно заметить, что члены последовательности с ростом номера n как угодно близко приближаются к 0. При этом величина xn становится все меньше и меньше. Очевидно, что пределом данной последовательности будет 0.

Дадим строгое определение предела числовой последовательности. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Определение 25 (определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности xn, если

" U(A) $ N: " n > N xn О U(A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение 26 (определение предела последовательности). Число A называется пределом xn, если

" e > 0 $ N: " n > N |xn-A |< e

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности " (вместо слова "для любого") и квантор существования $ (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается limn®Ґ xn = A или xn® A при n® Ґ. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Пример 18. Пусть xn = 1/n, покажем, что

limn® Ґ1/n = 0.
Для этого запишем определение:
" e>0 $ N: " n>N |xn|<e.
То есть 1/n<e при n>N=[1/e].

Пример 19.

xn = .
Доказать, что
limn ® Ґ = 1
" e >0 $ N: " n > N |-1| < e.
1/n < e Ю n > 1/e N = [1/e]
Если e = 1/10 , то N=10 и при n > 10 следует выполнение нужного неравенства.

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x1,x2,..., xn,... на числовой прямой. Неравенство |xn-A|<e равносильно следующему A- e < xn < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности xn попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

 

Ведение в математический анализ Последовательности. Определение и примеры числовой последовательности. Пределы числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей. Поведение монотонных и ограниченных числовых последовательностей. Число . Векторные последовательности. Сходимость векторных последовательностей.
Интегральное исчисление функции одной переменной