Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач


Предел последовательности. Основные определения и примеры.

Определение (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N® R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n). Обозначают числовую последовательность {xn}. Примеры числовых последовательностей:

Пример 16. 1) 1,2,..., n,...;
2) 1,-1,1,-1,...,(-1)n,...;
3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Интеграл ФКП Примеры решения задач математика

Определение 23.

  1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nО N xnЈ M (xnі m).
  2. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c > 0 такое, что |xn| Ј c для любого nО N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.

Пример 17.

  1. 1,2,...,n,... — ограничена снизу, но неограничена сверху;
  2. {1/n} – ограничена, так как 0< xnЈ 1 ;
  3. {(-1)n} – ограничена Признаки сходимости. Первый признак  сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)
  4. Уравнение Бернулли имеет вид , где

    с помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

    Пример 6.1. Решить уравнение

    Решение. Умножим обе части уравнения на

    Положим , тогда , подставим в уравнение

    ,

    , , ,

    , ,

     

     

    Уравнения в полных дифференциалах.

    Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции т.е.

    Для того чтобы (1) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D изменения переменных x и y выполнялось условие

    Общий интеграл уравнения (1) имеет вид

    Пример 7.1. Решить уравнение

    Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах

    , , так что

    То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и , , поэтому , проинтегрируем

    где пока неопределённая функция.

    Частная производная найденной функции должна равняться

    ,

    ,

    Общий интеграл имеет вид

 

Ведение в математический анализ Последовательности. Определение и примеры числовой последовательности. Пределы числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей. Поведение монотонных и ограниченных числовых последовательностей. Число . Векторные последовательности. Сходимость векторных последовательностей.
Интегральное исчисление функции одной переменной