Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач


Функции и отображения.

Определение. Функцией f , действующей из множества X в множество Y (f: X ® Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу x О X ставится в соответствие один или несколько y О Y. Если каждому x ставится в соответствие один y , то функция называется однозначной.

Определение 5. Образом множества A М X при отображении
f:X ® Y называют множество

f(A): = {y О Y: $ x О A и y = f(x)}

Пример 8. y = x2; A = [0,1]; f(A) = [0,1]

Определение 6. Множество

f-1 (B): = {x О X:f(x) О B}
тех элементов X, образы которых содержатся в B, называется прообразом множества B. Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Дифференциальные уравнения Задача . Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде

Определение 7. Бинарным отношением называется множество упорядоченных пар (x,y) Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения  , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Если x связан с y отношением R, то это обозначают как xRy.

Определение 8. Отношение называется функциональным, если

(xRy1) и (xRy2)Ю (y1 = y2).

График функции f:X® Y - это подмножество Xґ Y

Г: = {(x,y)О Xґ Y, y = f(x) }.

 

Пример 9: Исследовать условия сходимости несобственного интеграла с помощью определения (15) для разных k:

∞ , при k≤1

==

, при k>1

Полученные результаты позволяют определить , что несобственный интеграл сходится при k>1.

Пример 10: Исследовать на сходимость несобственный интеграл С помощью теоремы выбираем функцию сравнения (16) по следующему алгоритму

откуда k=>1 и интеграл сходится , следовательно сходится и заданный интеграл.

 

Ведение в математический анализ Последовательности. Определение и примеры числовой последовательности. Пределы числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей. Поведение монотонных и ограниченных числовых последовательностей. Число . Векторные последовательности. Сходимость векторных последовательностей.
Интегральное исчисление функции одной переменной