Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Числовые последовательности и функции. Пределы последовательностей и функции

Математика примеры решения задач

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5.

Решение. Найдем производную в точке x = -0,5

y' = 4x-1, y'(-0,5) = -3.
Уравнение касательной имеет вид:
y = 6-3(x+0,5) или y = -3x+4,5.

 

 Дифференцируемость функции Пусть функция определена на интервале (a,b).

Определение 4 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение D y этой функции в точке x представимо в виде
D y =AD x +a (D x) D x, (1)
где A - некоторое число, не зависящее от D x, а limD x® 0 a (D x ) = 0.

В дальнейшем будем считать, что a(0) = 0. В этом случае функция a(x) будет непрерывной в точке D x = 0. Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции a (D x), D x - бесконечно малые в точке D x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому Дана функция двух переменных: z = x2xy + y2 – 4x+ 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy:x = 0, y = –1, x + y = 3. 
D y =AD x +o(D x). (2)
Справедлива теорема

Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде ( 1). Поделив ( 1) на D x 0 получим

D y/D x = A+a(D x).
Переходя к пределу в последнем выражении при D x® 0, получим, что A=f'(x).

Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел

limD x® 0D y/D x = f'(x).
Обозначим a(D x) = D y/ D x-f'(x). Отсюда вытекает представление ( 1).

 

Основы дифференциального исчисления Производная функции, дифференциал функции, правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, производная неявной функции.
Интегральное исчисление функции одной переменной