Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач

Таблица интегралов

Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием.

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула
f(x)dx = f(f (t))f' (t)dt. (13)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).
Таким образом,
f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.
Так как f(x)dx = F(x)+C, то получим формулу Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

Предельный признак сравнения.

Несобственный интеграл 2-го рода. Интеграл от неограниченной функции.

Пример 11: Исследовать на сходимость несобственный интеграл второго рода.

Подинтегральная функция f(x)=. имеет на левом конце a=o промежутка интегрирования особую точку. Воспользуемся предельным признаком сравнения для чего с помощью формулы Маклорена для ex и cosx преобразуем знаменатель подынтегральной функции при x→0

Следовательно при x→0 знаменатели дробей являются эквивалентными бесконечно малыми

Так как интеграл расходится, то расходится и заданный интеграл

Приложения определенного интеграла

В данном разделе рассмотрим примеры прикладных задач геометрии и физики , в которых вычисление определенного интеграла построенного по условиям задачи позволяет получить требуемый результат. В задачах этого раздела необходимо обратить внимание на обоснование получаемых рабочих формул.

 

Дифференцирование функции одной переменной. Определение производной функции в точке. Связь между непрерывностью и существованием конечной производной в точке. Односторонние производные. Дифференциал функции в точке, его связь с производной в точке. Производная функция. Дифференцирование алгебраических операций.
Интегральное исчисление функции одной переменной