Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач

Экономический смысл производной

Ранее (см. раздел 1.1) было установлено, что производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим еще некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной.

Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением D y/D x. Производная

выражает предельные (маргинальные от английского "marginal") издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.

Определение 13. Отношение называется темпом прироста функции y. Отношение называется мгновенным темпом прироста.

Обычно степень влияния одной переменной на другую, зависимую от нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов интересуют относительные изменения величин. Например, если маленькое яблоко подорожало на 2,5 рубля, то при этом ьольшое, скажем, на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок. Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием производной используют понятие эластичности. Задача Поверхность задана уравнением z =  + xy– 5 x3 . Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение 14 (эластичность). Эластичностью функции Ex(y) называется величина

Ex(y) = limD x® 0(D y/y:D x/x) = x/y limD x® 0D y/D x = x/y· y'.

Определение 15. Будем говорить, что y(x) эластична в точке x, если |Ex(y)|>1, y(x) неэластична, если |Ex(y)| <1, и нейтральна, если |Ex(y)| = 1.

Рассмотрим некоторые свойства эластичности.

  1. Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то Eu(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = Ex(y);
  2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины
    Ey(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/Ex(y).
  3. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции Ty = (ln y)' = y'/y, то есть
    Ex(y) = xTy.
  4. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:
    Ex(uv) = Ex(u)+Ex(v), Ex(u/v) = Ex(u)-Ex(v).
  5. Из последнего свойства следуют формулы
    Ex(xy) = Ex(x)+Ex(y) = 1+Ex(y)
    отсюда, если Ex(y)>-1, то xy монотонно возрастает; если Ex(y)<-1, то xy монотонно убывает. Аналогично,
    Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y)-1

 

Дифференцирование функции одной переменной. Определение производной функции в точке. Связь между непрерывностью и существованием конечной производной в точке. Односторонние производные. Дифференциал функции в точке, его связь с производной в точке. Производная функция. Дифференцирование алгебраических операций.
Интегральное исчисление функции одной переменной