Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач

Общая схема исследования функций и построение их графиков

Для построения графика функции нужно провести следующие исследования:
  1. Найти область определения функции.
  2. Найти область значения функции.
  3. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
  4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.
  5. Найти асимптоты графика функции.
  6. Найти точки экстремума функции, установить интервалы монотонности функции.
  7. Найти точки перегиба графика функции, определить интервалы выпуклости.
  8. Найти точки пересечения с осями координат.

По полученным данным можно построить эскиз графика данной функции. Для примера построим график функции y = 2x3/(x2-4).

  1. Функция определена и непрерывна при всех xО R, кроме точек x = ± 2. Задача. Найти частные производные  и  , если переменные x, y, и z связаны равенством 
  2. Область значения функции - " yО R.
  3. Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести ииследование в интервале [0,Ґ).
  4. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.
    limx® 2± 02x3/(x2-4) = ± Ґ.
    Найдем наклонную асимптоту:
    k = limx® Ґy/x = limx® Ґ2x2/(x2-4) = 2, b = limx® Ґ(y-2x) = limx® Ґ8x/(x2-4) = 0,
    то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.
  5. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную
    y' = (6x2(x2-4)-4x4)/(x2-4)2 = 2x2(x2-12)/(x2-4)2.
    В промежутке [0,Ґ) y обращается в нуль в точках x = 0, x = 2 и обращается в бесконечность в точке x = 2. Отметим, что в интервале [0,2) и (2,2) y' меньше нуля и функция убывает, а в интервале (2,Ґ) больше нуля и следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка x = 2 является точкой минимума.
  6. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную
    y'' = 16x(x2+12)/(x2-4)3.
    Вторая производная y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале (2,2) и (2,Ґ) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.
  7. y(2) = 6, y(0) = 0.
Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим график (рис.29).


Упражнение 1. Провести исследование функций и построить их графики:

  1. y = x6-3x4+3x2-5;
  2. y = x2e1/x;
  3. y = x+ln (x2-1);
  4. y = 1/2sin 2x+cos x.

 

Ряды Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсо-лютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойст-ва равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства сте-пенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.
Интегральное исчисление функции одной переменной