Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Математика примеры решения задач

Выпуклость функции. Точки перегиба

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (рис.26). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).


Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема 10 (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

Доказательство. Если f''(x)>0, xО X, то f'(x) возрастает на множестве X и по предыдущей теореме функция выпукла вниз на множестве X. Аналогично рассматривается случай, когда f''(x)<0.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз (вверх) на множестве X, то f''(x)і 0, xО X (или f''(x)Ј 0 ) xО X. Например, функция y = x4 выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x2 обращается в ноль при x = 0.

Определение 10 (точка перегиба). Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Отсюда следуют утверждения. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0. [an error occurred while processing this directive]

Теорема 11 (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю, т.е. f''(x0) = 0.

Теорема 12 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x0, в которой f''(x0) = 0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба ее графика.

Заметим, что если в окрестности точки x1 функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x2 функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x0 касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).


Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 13. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x4+x3-18x2+24x -12.

Решение. Находим производные

y' = 4x3+3x2-36x+24, y'' = 12x2+6x-36.
Отсюда y'' = 0 при x1 = -2, x2 = 3/2. Следовательно, y''>0 на интервалах (-Ґ,-2), (3/2,Ґ) и функция выпукла вниз; y''<0 на интервале (-2,3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки x1 = -2 и x2 = 3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2,-124) и (3/2,-129/16) являются точками перегиба.

 

Ряды Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсо-лютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойст-ва равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства сте-пенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.
Интегральное исчисление функции одной переменной