Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Числовые последовательности и функции. Пределы последовательностей и функции

Математика примеры решения задач

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).

Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.


Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Справедливо утверждение:

Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке
M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).

Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.

Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид

y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)

В комнате, где температура 20 0 С, некоторое тело остыло за 20мин. от 100 0 С до 60 0 С. Найти закон охлаждения тела, через сколько минут оно остынет до 300 С? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Решение: В силу закона Ньютона ( скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем написать:

3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А( 0,1), если известно, что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок, равный квадрату радиуса-вектора этой точки.

Пусть точка М(х, у) – произвольная точка искомой кривой, МВ- нормаль к кривой в т.М, а В – точка пересечения нормали с осью абсцисс. Уравнение нормали к кривой в т.М имеет вид:

Найдем абсциссу т.В. Полагая в уравнении нормали Квадрат радиуса- вектора т.М равен x2 +y2. По условию задачи

это уравнение Бернулли при a=-1. Подстановкой

Воспользовавшись начальным условием ( кривая проходит черех точку А(0,1)), найдем значение произвольной постоянной С=1. Т.о., уравнение

является уравнением искомой кривой.

Основы дифференциального исчисления Производная функции, дифференциал функции, правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, производная неявной функции.
Интегральное исчисление функции одной переменной