Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Математика примеры решения задач

Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение . Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.

Определение 9. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на множестве X, если для всех x1,x2О X выполняется неравенство

f(l1 x1+l2x2)Ј l1f(x1)+ l2f(x2) (f(l1 x1+l2x2)і l1f(x1)+ l2f(x2)),
где l1і 0,l2і 0, l1+l2 = 1.

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.



Справедлива

Теорема 9. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Пример 9.2. Решить уравнение

Решение

; ,

Пример 10.1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение

, ,

Общее решение однородных уравнений имеет вид:

Правая часть уравнения , т.к. не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. Случай 2/1)

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на , будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов , и :

Общее решение данного уравнения

 

Ряды Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсо-лютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойст-ва равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства сте-пенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.
Интегральное исчисление функции одной переменной