Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Математика примеры решения задач

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что
f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). (8)

Доказательство. Введем новую функцию

g(x) = f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a).
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), g(a) = g(b) = 0. Следовательно, найдется точка (a,b), такая, что
g'(c) = f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a) = 0.
Отсюда
f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.24. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)),B(b,f(b)) кривой y = f(x), а f'(c) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C(c,f(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.


Следствие 2. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.

Данное следствие автоматически следует из формулы (8).

Несобственные интегралы.

Пример 7. Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Задачу решаем непосредственным интегрированием на основании определения. Выписываем следующую последовательность действий согласно формуле (15). Находим первообразную и предел

- предел не существует, следовательно несобственный интеграл расходится.

Пример 8. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла

Согласно (15)

- интеграл сходится

Часто в задаче ставится вопрос о сходимости несобственного интеграла без поиска его первообразной. В этом случае используют следующие теоремы (признаки сравнния):

 

Ряды Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсо-лютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойст-ва равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства сте-пенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.
Интегральное исчисление функции одной переменной