Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное и интегральное исчисление Пространство действительных чисел Приложение последовательностей в экономике

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Математика примеры решения задач

Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Справедлива

Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f(c) = 0.

Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис.23): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.


Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнения вида

— постоянные

Если , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.

1)

Вводя новые переменные и по формулам , приведем уравнение к виду

Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений

получаем однородное уравнение найдя его общий интеграл и заменив , получаем общий интеграл уравнения

и уравнение имеет вид

Подстановка приводит его к уравнению с разделяющими переменными.

Пример 4.2. Решить уравнение

Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид

Разделяя, переменные получаем

,

 

 

Ряды Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсо-лютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойст-ва равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства сте-пенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.
Интегральное исчисление функции одной переменной