Приложение последовательностей в экономике

Приложение последовательностей в экономике. На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т.д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой.

Пример Пусть ссуда в 2000 рублей предоставляется на пять лет при простой ставке 3% годовых Пример.

Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Пример. Пусть стоимость аннуитета 73000 рублей, ежегодные выплаты равны 15000 рублей, процентная ставка 4% годовых. Сколько лет должны производиться выплаты, чтобы их стоимость превысила стоимость аннуитета?

Предел функции. Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E. Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E. Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности

Свойства предела функции

Пример. Найти limx® 0(sin 6x)/4x; limx® 0(1-cos x)/x2

.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если limx ® af(x) = 0

Критерий Коши о существовании предела функции. Определение (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию 0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,справедливо неравенство |f(x1-f(x2)|<e.

Сравнение функций. Определение Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|Ј c |g(x)| при |x-a|<d, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке

Точки разрыва

Свойства функций, непрерывных в точке

Пример. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке: f(x) = 1/(1+21/x)

Решение задачи:

Движение системы N материальных точек.

Система уравнений Ньютона

,

-масса, - радиус вектор i-ой точки, - сила воздействующая на i-ую точку.

Частный случай колебания маятника

.

При малых колебаниях и тогда уравнение имеет вид:

.

В результате получаем, что знакомство с решением и визуализацией различных физических задач способствует развитию у учащихся правильных представлений о характере отражения алгеброй основных элементов в физике, роли математического моделирования в научном познании.

 

 

Пример1: Вычислить определенный интеграл от функции f(x)=4х+3………по отрезку [1,5] пользуясь только определением. Найти среднее значение и провести оценку интеграла на основании введенных определений

. Рис. 2

Решение : Интегрирование начинаем с построения интегральной суммы для заданной функции по промежутку интегрирования .

Первый шаг:1) Разбиение отрезка интегрирования. Проведем разбиение отрезка [ 1;5] на n равных частей длиной, тогда длина оьразовавшихся «кусочков»

Dxi= (b-a)/n= (5-1)/n= 4/n.

2) Запишем координаты концов кусочков (частей ) разбиения Dxi , соответственно :

для «кусокка» [xi-1, xi] : xi-1= a + (i – 1) Dxi = 1 + (i – 1)( 4/n ) ;

xi = a + i Dxi = 1 + i(4/n ) .

3) Выберем точку ξi внутри Dxi и нйдем ее координаты, например ,

в середине отрезка ξi = 1 + (i – 1)( 4/n ) + 4/2n

либо на его концах левом ξi = xi-1 или правом ξi = xi .

4) Теперь найдем значения функции в выбранных точках и построим интегральную сумму. Для ξi в середине отрезка

f(ζi) =4( 1 + (i – 1)( 4/n ) + 4/2n ) +3 =4+16i/n -16/n+8/n+3=7+16i/n -8/n

составляем сумму

Sn = f(ξ1)Dx1 + f(ξ2)Dx2 + … + f(ξn )Dxn = ={7+16i/n -8/n} 4/n. =

=28/n+ 64i/n-- 32/n2 =28+64/n(i )-32/n = 28+{(64/n)(1+n)/2}n =28+{(64/n)(1+n)/2}n -32/n =28+32+32n-32n=60

Функция f(x монотонно возрастает , поэтому на левом конце отрезка xi-1 функция принимает значение mi=f(xi-1 ) - наименьшее значение а на правом в точке xi : ξi = xi значение Mi. Подставляя и вычисляя находим, верхнюю и нижнюю суммы

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn = = [4(1 + (i – 1)( 4/n )+3]( 4/n ) = 60

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn = =[4(1 + i ( 4/n ))+3]( 4/n )=60

Вычисляя предел найденных сумм при n →∞ (maxDxi→0) находим значение определенного интеграла I=60.При этом учитываем, что сумма вида

=4(n+1)n/2 -образует арифметическую прогрессию и сумма арифметической прогрессии находится по извесиной форме.

Обратите внимание , интегральная сумма и суммы Дарбу имеют в пределе одинаковые значения.

Значение определенного интеграла геометрически определяет площадь криволинейной

( в нашем случае прямолинейной) трапеции.

Оценка интеграла по формуле (8) где M=23, m=7 дает систему неравенств

,

которая на графике определяет отношение площадей вписанного прямоугольника высоты m=7 , криволинейной трапеции и описанного прямоугольника высоты M=23 опирающихся на отрезок длиной 4.

Среднее значение функции по отрезку согласно формуле (9) равно

и определяет высоту такого прямоугольника, основанием которого служит отрезок [1,5], а площадь равна площади трапеции.

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика