Пространство действительных чисел

Пространство действительных чисел.

Аксиоматика действительных чисел. Определение(пространство действительных чисел). Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы

Числовые множества. Ограниченное множество.

Принцип верхней грани. Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой. Между точками числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой соответствует действительное число и наоборот. Множество всех действительных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-Ґ,Ґ) или R.

Предел последовательности. Основные определения и примеры.

Определение (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: xn = n

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Свойства предела последовательности.

Арифметические операции над последовательностями.

Фундаментальные последовательности. Определение . Последовательность xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |xn-xm|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Монотонные последовательности

Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности. Определение (определение подпоследовательности). Как мы уже знаем (см. определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество nk, k = 1,2,..., nk<nk+1, то получим подпоследовательность xnk.

Вычисление определенного интеграла.

Понятие «определенный интеграл» было введено в математике для решения определенного класса задач , приводящих к необходимости вычисления интегральных сумм и их пределов. Однако, в дальнейшем была установлена связь между определенным и неопределенным интегралами.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение: Так как для функции f(x)=sin(x) функция F(x)=-cos(х) является первообразной, то, применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычисляем данный определенный интеграл: ===.

 

 

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле .

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если:

1) j(t)- дифференцируемая и j¢(t) непрерывна на отрезке [a, b];

2) отрезок [a, b] отображается на [a, b];

3) j(a) = а, j(b) = b , то справедлива формула

(13)

Тогда

Пример 3. Вычислить определенный интеграл заменой переменной

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

= = = = =.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция должна быть определена, непрерывна и дифференцируема на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика