Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+D t количество продукции изменится от u(t0) до u0+D u = u(t0+D t).

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x 0, причем x+D x О (a,b).

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5.

Пример. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Правила дифференцирования Приведем основные правила для нахождения производной

Дифференцирование сложной и обратной функций Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)).

Теорема (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула (f-1(y))' = 1/f'(x).

Таблица производных простейших элементарных функций

Производная степенно-показательной функции

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пример 5. Вычислим определенный интеграл двумя способами.

Очевидно, с другой стороны, если под знаком интеграла построить дробь, в знаменателе ввести функцию тождественно равную единице и применить формально тригонометрическую подстановку, то получим другой результат

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная новая переменная t= tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

 

 

Интегрирование по частям.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны и дифференцируемы на отрезке

[a, b], то справедлива формула интегрирования по частям:

(14)

Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пример 6. Вычислить интеграл .

==

== =+ =0.

 

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика