Ряды лекции и примеры решения задач

Ряды Тейлора и Лорана.

Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:

Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора . Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая

Примеры разложения функций в ряд Лорана.

Пример. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты. Правила дифференцирования Приведем основные правила для нахождения производной Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Нули аналитической функции.

Изолированные особые точки.

Показать, что гармонический ряд расходится.

Главная часть ряда Лорана отсутствует: . В этом случае особая точка а называется устранимой.

Вычет аналитической функции в особой точке.

Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана. Примеры нахождения вычетов.

Основная теорема о вычетах Окружим каждую особою точку zk, k = 1, 2, …,n контуром   таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, , функция аналитична, поэтому по 19.6.2.2. Теореме Коши для многосвязной области 

Бесконечно удалённая особая точка. Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки  определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки .

Операционное исчисление.

 Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).

 Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f(t) (или преобразованием Лапласа функции f(t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством.

 

Изображения простейших функций.

 Единичная функция Хевисайда  

Теорема смещения.

 Периодические функции. Пусть f(t)- периодическая при t > 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f1(t) функцию, описывающую первый период функции f(t):

Интегрирование оригинала.

Дифференцирование оригинала. Если функция-оригинал f(t) имеет производную , тоже являющуюся оригиналом, и , то .

Дифференцирование изображения. Если f(t) - функция-оригинал, и , то .

Док-во. . Дифференцируя это соотношение по параметру р, получаем .

Иллюстрации этого свойства. С его помощью просто получаются изображения степенных функций:

Теорема Бореля (теорема об умножении изображений). С помощью этой теоремы легко находить оригиналы для изображений вида.

Обращение преобразования Лапласа Формула Римана-Меллина.

Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа.

Приложения операционного исчисления nк решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

 Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где f(t) - изображённая на рисунке периодическая функция

Формулы Дюамеля. При решении задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения согласно тому порядку действий, который изложен выше, необходимонаходить изображение правой части уравнения, что в некоторых случаях может быть затруднительно или вообще невозможно. Формулы Дюамеля позволяют находить решение, не выписывая в явной форме изображение правой части. Они основаны на интегралах Дюамеля, рассмотренных в пункте 20.2.8.3:

Обращение преобразования Лапласа.

Первая теорема разложения.

Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

 Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала.

Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где  - изображённая на рисунке периодическая функция периода Т:

 

Решение систем линейных у уравнений.

Решаем эту систему относительно : из первого уравнения вычитаем второе, умноженное на р:  (после разложения на простые дроби)

Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса. Требуется вычислить циркуляцию поля  по контуру С, образующемуся в результате пересечения поверхности  с координатными плоскостями.Модуль ротора определяется соотношением .

Достаточные условия потенциальности.

Напомним определение односвязной области: область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области. Нам при доказательстве теоремы придётся строить поверхности, натянутые на контуры; определение односвязности как раз гарантирует, что такие поверхности существуют, и ими могут служить поверхности, образующиеся при деформации контура в точку.

Нахождение потенциала. В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля (M), то , где  - фиксированная точка. Обычно, если в точке О(0,0,0) поле не имеет особенностей, то в качестве точки  берётся именно эта точка; если в этой точке поле не определено, берётся другая точка. Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим .

Соленоидальное векторное поле

Определение соленоидального поля. Векторное поле (M) называется соленоидальным в области V, если во всех точках этой области .

 Согласно этому определению, поле не может иметь в области V источников и стоков; таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Гармонические поля.

Оператор Лапласа. Пусть функция  имеет непрерывные вторые частные производные. Вычислим . Оператор , с помощью которого по функции   получена функция , называется оператором Лапласа, или лапласианом. Формально его можно получить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла:

.

Равномерная сходимость функционального ряда. Факт сходимости ряда  к своей сумме  в точке сходимости х означает, в соответствии с определением предела, то, что для любого числа  существует такое натуральное N, что при n>N верно . Здесь  - частичная сумма ряда в точке х. Число N зависит, естественно, от , но оно зависит и от х, т.е. . В некоторых точках области сходимости ряд может сходиться к своей сумме быстро, т.е. неравенство  будет выполняться при не очень больших значениях N, в других точках эта сходимость может быть медленной. Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

 Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

 Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

 Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R   (возможно, ) такое, что при  степенной ряд сходится, при  ряд расходится. Действительно, пусть в точке  ряд сходится, в точке  ряд расходится. Рассмотрим точку , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке  числовой ряд  либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку  в точку ; если ряд в точке  расходится, мы переносим в  точку . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки  и , эта граница и определит число R.

Формулы для радиуса сходимости. Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда  через его коэффициенты. Ряд из модулей: ;

Свойства степенного ряда и его суммы.

Ряд Тейлора

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Стандартные разложения.

Выпишем несколько разновидностей этого ряда.

Решение задач на разложение функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням , решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров.

Применения степенных рядов.

Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке , и функция разлагается в окрестности точки  в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке , которое надо найти, равно , и принимается . Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины . Погрешность равна остатку ряда после n-го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для  (или ). При оценке  принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то  просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией.

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так.  . Первые n коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

Ряды Фурье. Тригонометрическая система функций и её ортогональность на отрезке .

Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической функции периода .

Условия Дирихле. Теорема Дирихле. Поставим обратный вопрос. Предположим, что для функции , имеющей период , вычислены коэффициенты по формулам , и составлен ряд Фурье . Будет ли этот ряд сходиться? Будет ли его сумма равна ?

Ответы на эти вопросы даёт теорема Дирихле.

Примеры разложения функций в ряд Фурье.

Коэффициенты ряда Фурье чётных и нечётных функций.

Ряд Фурье функций периода .

 

Теория рядов.

Числовые ряды.

Свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда

Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами:  для . Для таких рядов частичная сумма  является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов:

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

Теоремы сравнения положительных рядов.

Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда   и , для которых, хотя бы начиная с некоторого места (при n>N), выполняется неравенство . Тогда:

если сходится ряд (В), то сходится ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится ряд (В).

Другими словами, из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда. Сразу отметим, что из расходимости большего ряда, как и из сходимости меньшего ряда, никаких выводов о сходимости второго ряда сделать нельзя.

Предельная форма признака сравнения.

Признак сходимости Коши (радикальный).

Признак сходимости Даламбера.

Интегральный признак Коши.

Знакопеременные ряды. Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов. Естественно попытаться свести исследование сходимости таких рядов к исследованию сходимости рядов с положительными членами, для которых имеются рассмотренные выше тонкие признаки сходимости, поэтому введём понятие абсолютной сходимости.

Знакочередующиеся ряды. Определение. Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.

 Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: .

 Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

Под произведением рядов (А) и (В) понимается ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (А) и (В):

.Оказывается, и здесь надо различать абсолютно и условно сходящиеся ряды. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма  и , то ряд (С) при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна . Для условно сходящихся рядов это утверждение несправедливо. Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

 

Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если , , то сопряженное число равно , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z. По определению, любое число w, такое, что w n= z, называется корнем n -ой степени из числа z. Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому |w| n= |z|, n arg w n= Arg z, откуда , , при этом n различных значения корня n -ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, …, n-1.

Задание кривых и областей на комплексной плоскости.

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика