Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры

Двойной интеграл

  Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Свойства двойного интеграла.

Линейность.

Аддитивность.

Теоремы об оценке интеграла.

Пример Найти разложение в ряд Фурье функции:  

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от   до  получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть D - простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области D равен повторному интегралу от той же функции по области D: .

Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Пусть на плоскости Ouv задана область G, и пусть отображение F(M) = M* преобразует эту область в область D на плоскости Oxy.

Переход от двойного интеграла к повторному.

Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.

Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл вычисляется переходом к повторному

Приложения двойного интеграла.

Вычисление площадей плоских областей.

 Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху.

Тройной интеграл

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция f(x, y, z).

Разобьём область V произвольным образом на n подобластей V1, V2, V3, …, Vn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом v(Vi) будем обозначать объём области Vi; символом d обозначим наибольший из диаметров областей Vi: .

Теорема о среднем. Замена переменных в тройном интеграле.

Теорема о за мена переменных в тройном интеграле. Пусть в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение  преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V; 2). Функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан  не обращается в нуль на G.

Тройной интеграл в сферических координатах:. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и , где r - длина радиуса-вектора точки M, j - полярный угол проекции M1 точки М на плоскость Оху,  - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым

Механические приложения тройного интеграла . Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы   (,, где G - область, содержащая точку Р, m(G) - масса этой области, v(G) - её объём).

Несобственные кратные интегралы

 Несобственные интегралы по неограниченной области. Логика определения сходимости несобственного двойного, тройного, n - кратного интеграла по неограниченной области такая же, как и для несобственного определённого интеграла: мы ограничиваем область, вычисляем интеграл по этой ограниченной области, и, затем, расширяя область интегрирования до исходной, смотрим, существует или нет конечный предел значения интеграла. Рассмотрим это более подробно для случая двойного интеграла.

Несобственные интегралы от неограниченной функции. Структура множества точек, в окрестностях которых функция двух, трех и большего числа переменных может оказаться неограниченной, может быть достаточно сложной. Так, функция трёх переменных может быть неограниченной в окрестности одной точки , прямой , плоскости ; естественно, возможны более сложные случаи. Мы рассмотрим самый простой случай, когда функция неограничена в окрестности единственной точки.

Криволинейные интегралы

Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой  перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .

Статические моменты и координаты центра масс. Пусть плоская материальная кривая  имеет плотность m(x,y). Статический момент относительно оси Ox определяется по формуле , относительно оси Oy: .

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).

Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть в пространстве Oxyz дана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция P(x, y, z). Разобьём кривую точками A0(x0, y0, z0) = A, A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), …, Ai(xi yi, zi), …, An(xn yn, zn) = B на n частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку Mi(xi yi, zi), найдём P(Mi) = Pi(xi yi, zi) и проекцию  дуги  на ось Ох, и составим интегральную сумму .

 Решение. 1.   (по свойству аддитивности). На ОВ в качестве параметра естественно выбрать переменную х, при этом , поэтому . На ВА , поэтому . Окончательно, .

Формула Грина

 Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

  Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

 Область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

  Примеры: односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

Теорема Грина для многосвязной области. Пусть теперь D многосвязная на плоскости Oxy. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура С и внутренних контуров С1 и С2. Соединим контур С разрезом FM с контуром С1, разрезом BG - с контуром С2. (Под словами "соединим разрезом BG " подразумевается то, что мы удалим из D отрезок BG).

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.

Если выполнены условия независимости от формы пути,соединяющего начальную  и конечную   точки кривой, то значение интеграла   определяется только точками А и В. Поэтому в этом случае для обозначения интеграла применяется обозначение  или

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Из формулы Грина  следует неожиданный результат: если функции Р и Q удовлетворяют условию , то   ( - площадь области D). Таким образом,площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций Р и Q можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что , например, ; ; ;  и т.д. В результате  и т.д.

Поток жидкости через поверхность. Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём V течёт поток жидкости, имеющий скорость в точке М. Пусть в V размещена проницаемая (возможно, воображаемая) поверхность . Требуется найти количество  жидкости, протекающей через  за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , найдём  и площадь части  (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму .

 Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость. Пусть поверхность  взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме  выразим площадь  через двойной интеграл по её проекции  на плоскость Оху: .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при  (при этом и ) даёт

Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

Масса поверхности. Пусть на поверхности s распределена масса с поверхностной плотностью m(x,y,z). Тогда масса m поверхности равна

m = .

Статические моменты и центр масс. Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны соответственно    

Поверхностные интегралы

Поверхностный интеграл второго рода (по координатам).

  Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке  задана сторона поверхности), и на которой определена функция R(x,y,z). Разобьём поверхность на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , найдём , нормаль  в точке  к выбранной стороне поверхности, и площадь  проекции части  на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое  возьмём со знаком "+", если  (т.е. если угол   между  и осью Oz - острый; проекция  на орт  оси Oz положительна), и со знаком "-", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид .

Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пусть поверхность  взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. В этом случае   имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид . Если поверхность задана уравнением , , то эта сумма равна . В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла .

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика