Функция комплексной переменной примеры решения задач

Функция комплексной переменной

 Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.

Геометрическое изображнение ФКП. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Предел ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z0 = x0 + iy0. Комплексное число w0 = u0 + iv0 называется пределом функции при , если для любой -окрестности   (>0) точки w0 найдётся такая проколотая -окрестность  точки z0, что для всех  значения f(z) принадлежат . Другими словами, если z0 - собственная точка плоскости, то для любого >0 должно существовать такое >0, что из неравенства  следует неравенство  (аналогично расписывается определение для несобственной точки ). Таким образом, на языке - определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: .

Дифференцируемость функции комплексной переменной

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции w = f(z) в точке z называется предел

Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале. Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление  может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Геометрический смысл производной.

Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями.

Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y), т.е. такая функция, что w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) - аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической v(x, y) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y).

Ряды с комплексными членами Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядовничем не отличаются от действительного случая.

Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3, …, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую - bn

(т.е. zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …).

Абсолютная сходимость.

Степенные комплексные ряды. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида , где a0, a1, a2, …, an, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку z0. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

 Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Элементарные функции комплексной переменной.

Степенная функция ,  - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’x = 1 = v’y, u’y = 0 = -v’x,

w’ = u’x + iv’x = 1 (или, непосредственно, ). Далее,  дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = nzn-1 отлична от нуля при , следовательно, отображение w = zn  при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области  необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .

Интегрирование функций комплексной переменной. Интеграл от ФКП

Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f ( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f ( z) по L равен нулю: . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

Первообразная аналитической функции. Если функция w = f ( z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой   зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z0, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать

Интеграл  (). Возможные случаи: 1. Точка z0 лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.

Если функция f(z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f(z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) - аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L(если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).

Разбор типового варианта

Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа

Определить вид кривой .

Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки .

Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Вычислить интегралы с помощью вычетов

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика