Вычисление площадей плоских областей. Вычисление площади поверхности. Тройной интеграл Поверхностный интеграл первого рода Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная степенно-показательной функции


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Теорема Остроградского. Пусть  - кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область V,  - гладкое векторное поле. Тогда поток поля  через внешнюю сторону  равен тройному интегралу от дивергенции поля  по V:

.

Приведённую выше формулу обычно называют формулой Остроградского в векторной форме. Если записать её в виде  или , то получим формулу Остроградского в координатной форме. Естественно, для потока в левой части формулы могут применяться и другие обозначения. Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

 Доказательство. Достаточно доказать формулу в случае, когда тело V - простое, т.е. проекция V на любую координатную плоскость - простая область D, и любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках. Если V не является простой областью, мы разобьём её на простые части; тогда сумма тройных интегралов по этим частям, в силу аддитивности, даст интеграл по всей области V ; а при вычислении поверхностных интегралов интегралы по введённым внутренним перегородкам будут браться дважды с противоположными направлениями нормали и взаимно уничтожатся. Кроме того, достаточно доказать формулу Остроградского для каждого из слагаемых: , , , тогда сумма этих формул даст общую формулу. Докажем, например, что . Простую область V, как мы знаем, можно описать следующим образом: . Вычисляем :    . Знак последнего слагаемого выбран с учётом того, что на  . Если в полной границе области V присутствует цилиндрическая составляющая , то , поэтому окончательно . Совершенно аналогично доказываются формулы для двух других слагаемых. Формула Остроградского доказана.

Применим формулу Остроградского для решения задачи, рассмотренной в предыдущем разделе: найти поток векторного поля  через полную внешнюю поверхность тела, ограниченного поверхностями : ,  

. Естественно, ответ получился тот же; но этот способ вычисления оказался самым простым.

1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное посо-бие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с. 2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с. 3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференци-альным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.
Тройной интеграл в сферических координатах Механические приложения <