Вычисление площадей плоских областей. Вычисление площади поверхности. Тройной интеграл Поверхностный интеграл первого рода Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная степенно-показательной функции


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Поток векторного поля через поверхность.

В разделе 16.4. Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности   за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом . Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.

Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.

Определение. Пусть  - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области V, в которой задано поле (M). Фиксируем выбором нормали  одну из двух сторон поверхности . Потоком векторного поля (M) через поверхность  называется поверхностный интеграл первого рода по  от скалярного произведения (M) на единичный вектор нормали  к выбранной стороне поверхности: П. Курс лекций по математике Геометрический смысл метода Эйлера Решение дифференциальных уравнений

 Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как , поток может обозначаться П. Иногда произведение  обозначают   и называют этот вектор вектором элементарной площадки, тогда П. Если связать  с проекциями  на координатные плоскости:

и использовать координатную запись поля , то скалярное произведение в координатной форме даст П, т.е. поток может быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. Напомню, что в таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в зависимости от знака соответствующей координаты нормали.

17.3.2. Свойства потока векторного поля. Согласно определению, поток - поверхностный интеграл, поэтому он имеет все свойства поверхностного интеграла. Понятно, что некоторые из этих свойств теряют смысл (интеграл от единичной функции, например), поэтому перечислим основные свойства потока.

Линейность. ;

 2. Аддитивность. . Здесь  и  - кусочно-гладкие поверхности, которые могут пересекаться только по границам; нормали на этих поверхностях должны быть согласованы так, чтобы определять одну сторону всей составной поверхности

3. Поток меняет знак при изменении стороны поверхности (так как в каждой точке   вектор  меняется на -).

1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное посо-бие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с. 2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с. 3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференци-альным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.
Тройной интеграл в сферических координатах Механические приложения <