Вычисление площадей плоских областей. Вычисление площади поверхности. Тройной интеграл Поверхностный интеграл первого рода Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная степенно-показательной функции


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Дифференциальные характеристики векторного поля.

Дивергенция векторного поля.

Пусть в некоторой системе координат . Скалярная величина (скалярное поле)  называется дивергенцией поля в точке М и обозначается : . С помощью оператора набла дивергенция определяется как скалярное произведение . В дальнейшем мы увидим, что дивергенция инвариантна относительно системы координат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем свойства дивергенции:

Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

  (или );

Если u - скалярное поле, то  (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем, например, третье свойство.   .

Пример вычисления дивергенции: если , то .

17.2.2.2. Ротор векторного поля. Ротором векторного поля (M) в точке  называется векторная величина (векторное поле) . Запомнить эту формулу очень легко, если выразить  через оператор Гамильтона набла:  равен векторному произведению . Действительно, . Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим

.

Пример: если , то

  Свойства ротора:

Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

  (или );

Если u - скалярное поле, то  (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем третье свойство.   

.

Пример10.2. Вычислить  - отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3;1;4).

Решение: Составим уравнение прямой проходящей через точки А и В: или в параметрической форме x = 2t + 1, y = t, z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (10.7) находим, что

 

 

Задание 2. Найти область сходимости ряда: Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно: Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:
Тройной интеграл в сферических координатах Механические приложения <