Вычисление площадей плоских областей. Вычисление площади поверхности. Тройной интеграл Поверхностный интеграл первого рода Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная степенно-показательной функции


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

Масса поверхности. Пусть на поверхности s распределена масса с поверхностной плотностью m(x,y,z). Тогда масса m поверхности равна

m = .

6.4.3.4.2. Статические моменты и центр масс. Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны соответственно    

Координаты центра масс поверхности s равны xc = , yc = , zc = .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

6.4.3.4. 3. Моменты инерции. Момент инерции поверхности s относительно прямой L равен IL=, где =rL(x,y,z) - расстояние от точки (x,y,z), лежащей на поверхности s, до прямой L. В частности, моменты инерции относительно координатных осей OX, OY, OZ равны

, , .

Момент инерции относительно точки P(x0,y0,z0) равен

Момент инерции относительно начала координат равен

  Пример. Найти координаты центра масс полусферы x2 + y2 + z2 = R2, z £ 0, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси OZ.

 Решение: Масса полусферы s равна

(Мы воспользовались тем, что интеграл  равен четверти площади круга радиуса R , т.е. ).

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I первого рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t Є [α;β], где x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке A, соответствует t = α, а точке B – значение t = β, то

 (9.3)

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой AB, задаваемой уравнениями x = x(t), y = y(t), z = (t), :

  (9.4)

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая AB задана уравнением y = φ(x), x Є [a;b], где φ(x) – непрерывно дифференцируемая функция, то

 (9.5)

Подынтегральное выражение в правой части формулы (9.5) получается заменой в левой части y = φ(x) и (дифференциал дуги кривой).

Задание 2. Найти область сходимости ряда: Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно: Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:
Тройной интеграл в сферических координатах Механические приложения <