Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .

Пример. Вычислить , где  - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.

Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем  , поэтому

.

2. Если за параметр взять переменную у, то   и .

Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности  : .

Если кривая задана в полярных координатах , то , и .

16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

16.3.2.4.1. Масса m материальной кривой  с плотностью m(x,y,z) вычисляется по формуле .

Пример. Найти массу четверти лемнискаты , если плотность выражается формулой m(x,y)=.

Решение:  , поэтому

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими отношениями:

.

Возьмем в качестве цилиндрические координаты ,,и вычислим якобиан преобразования:

.

Формулы замены переменных (8.4) принимает вид

  (8.5)

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по и по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. - 5-е изд., перераб. и доп. -М.: Дрофа. Т.1. - 2003.-703 с. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. - 6-е изд. стер. -М. Физматлит, 2002, -646 с. 4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей