Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. - 5-е изд., перераб. и доп. -М.: Дрофа. Т.1. - 2003.-703 с. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. - 6-е изд. стер. -М. Физматлит, 2002, -646 с. 4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией
, то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла:
. Аналогично, если кривая задаётся уравнением
, то
.
Пример. Вычислить
, где
- четверть окружности
, лежащая в четвёртом квадранте.
Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем
![]()
, поэтому
.
2. Если за параметр взять переменную у, то
![]()
и
.
Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности
![]()
:
.
Если кривая задана в полярных координатах
, то
, и
.
16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.
16.3.2.4.1. Масса m материальной кривой
с плотностью m(x,y,z) вычисляется по формуле
.
Пример. Найти массу четверти лемнискаты
, если плотность выражается формулой m(x,y)=
.
Решение:
, поэтому
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими отношениями:
.
Возьмем в качестве
цилиндрические координаты
,
,
и вычислим якобиан преобразования:
.
Формулы замены переменных (8.4) принимает вид
(8.5)
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по
, по
и по
аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.