Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая
лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся
функцией 
, то, рассматривая х как параметр, получаем следующую
формулу для вычисления интеграла: 
. Аналогично, если кривая задаётся уравнением 
, то 
.
Пример. Вычислить 
, где 
- четверть окружности 
, лежащая в четвёртом квадранте.
Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем 
, поэтому 
.
2.
Если за параметр взять переменную у, то 
и 
.
Естественно, можно взять обычные параметрические
уравнения окружности 
: 
.
Если кривая задана в полярных координатах 
, то 
, и 
.
16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.
16.3.2.4.1. Масса m материальной кривой 
с плотностью m(x,y,z) вычисляется по формуле 
.
Пример. Найти массу четверти лемнискаты 
, если плотность выражается формулой m(x,y)=
.
Решение: 
, поэтому 
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими отношениями:
|
|
.
Возьмем
в качестве 
цилиндрические координаты 
,
,
и вычислим якобиан преобразования:
.
Формулы замены переменных (8.4) принимает вид
(8.5)
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию
по , по и по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.