Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Механические приложения тройного интеграла. Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы   (,, где G - область, содержащая точку Р, m(G) - масса этой области, v(G) - её объём). Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая (раздел 16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла), поэтому просто перечислим их.

 Масса тела;

координаты центра тяжести , , ;

моменты инерции  (относительно плоскости Oxz),  (относительно плоскости Oyz),  (относительно плоскости Oxy),   (относительно оси Ox),  (относительно оси Oy),  (относительно оси Oz),  (относительно начала координат).

 Примеры. Найти координаты центра тяжести половины шара радиуса R, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара.

 Решение. Если ввести координатную систему так, как показано

на рисунке, то ; вычисления ведём, естественно, в сферических координатах:

; , аналогично yc = 0 (что, впрочем, очевидно и без вычислений); .

 2. Найти моменты инерции однородного  цилиндра относительно диаметра основания и оси.

Производная функции Основные правила нахождения производной

  Решение. Если система координат введена так, как показано на рисунке, то мы должны найти Ix (или Iy = Ix) и Iz. Вычисляем в цилиндрических координатах.

.

.

Масса кривой

Масса материальной кривой AB (провод, цепь, трос, …) определяется формулой ,  плоскость кривой в точке M.

Разобьем кривую AB на n элементарных дуг Mi-1Mi (i = ). Пусть  – произвольная точка дуги Mi-1Mi. Считая приближенно участок дуги однородным, т.е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы mi дуги Mi-1Mi:

.

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

,  (9.7)

За массу кривой AB примем предел суммы (9.7) при условии, что , т.е.

или, согласно формуле (9.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая AB гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке AB функцией).

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. - 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 - 2001. -697 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей