Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и , где r - длина радиуса-вектора точки M, j - полярный угол проекции M1 точки М на плоскость Оху,  - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:

   

Вычислим якобиан этого преобразования:   , следовательно, .


Примеры применения цилиндрических и сферических координат. Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём V, зависят от комбинации x 2 + y 2 = r 2; сферические - если эти уравнения зависят от x 2 + y 2 + z 2 = r 2. Рассмотрим ряд примеров. Криволинейный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

 1. Найти объём V общей части двух шаров, ограниченных сферами

x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 2 + y 2 + z 2 = 2Rz .

 Решение. Пересечение сфер находится на уровне  и представляет собой круг радиуса . Объём V ограничен сверху поверхностью , снизу - поверхностью . Вычисления в декартовых координатах дают  - достаточно громоздкие выкладки. В цилиндрических координатах объём V ограничен сверху поверхностью , снизу - поверхностью , поэтому

.

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид , верхней - , их пересечение соответствует значению . В интервале  r меняется от 0 до R, в интервале  r меняется от 0 до , поэтому

.

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

2. 

Параболоид и конус пересекаются в плоскости  по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма V служит ось Ох, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами  

.

Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно (громоздкое уравнение для параболоида).

 3.  Здесь область интегрирования - шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси Оz на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения x 2 + y 2 + z 2, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы  , поэтому .

 4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам (на это указывает комбинация x 2 + y 2 + z 2 = r 2). Уравнение поверхности . По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты  в уравнении показывает, что это - тело вращения вокруг оси Oz. Находим объём:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. - 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 - 2001. -697 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей