Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Тройной интеграл.

 1 Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция f(x, y, z).

Разобьём область V произвольным образом на n подобластей V1, V2, V3, …, Vn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом v(Vi) будем обозначать объём области Vi; символом d обозначим наибольший из диаметров областей Vi: .

В каждой из подобластей Vi (i = 1,2,…,n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi, zi), вычислим в этой точке значение функции f(Pi ) = f (xi, yi, zi), и составим интегральную сумму .

 Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти Vi, ни от выбора точек Pi, то функция f(x, y, z) называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции f(x, y, z)по области V и обозначается .

 Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить dv как dv = dx dy dz, получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

 Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y, z) непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

16.2.2. Свойства тройного интеграла по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

16.2.2.1. Линейность. Если функции f(x, y, z), g(x, y, z) интегрируемы по области V, то их линейная комбинация  тоже интегрируема по V, и  .

16.2.2.2. Аддитивность. Если область V является объединением двух областей V1 и V2, не имеющих общих внутренних точек, то .

16.2.2.3. Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области: .

16.2.2.4 Интегрирование неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство , и функции f(P), g(P) интегрируемы по области V, то .

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА

Основные понятия

Решение задач о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти также как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости Oxy задана непрерывная кривая AB (или L) и функция P(x;y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую AB точками M0 = A, M1, … Mn = B в направлении от точки A к точке B на n дуг Mi-1Mi с длинами Δli (i = 1, 2, …, n).

На каждой «элементарной дуге» Mi-1Mi возьмем точку  и составим сумму вида

, (10.1)

где Δxi = xi – xi-1 – проекция дуги Mi-1Mi на ось Ox. (см. рис. 5).

Сумму (9.1) называют интегральной суммой для функции P(x;y) по переменной x.Таких сумм можно составить бесконечное множество. (Отличие сумм (9.1) и (10.1) очевидно).

Если при интегральная сумма (10.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой AB, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P(x;y) по кривой AB и обозначают или . Рис. 5.

Итак, .

Аналогично вводиться криволинейный интеграл от функции Q(x;y) по координате y:

,

где Δyi – проекция дуги Mi-1Mi на ось Oy.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. - 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 - 2001. -697 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей