Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

 Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром x2 + y2 = 2ax из сферы x2 + y2 + z2 = 4a2 . Интегрирование тригонометрических функций Математика Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения

Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности   вычисляем производные   и . Область D - сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz:  .

 16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла должны решит. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разобьём D на малые подобласти D1, D2, D3, …, Dn, в каждой из подобластей Di выберем произвольную точку Pi, и, считая что в пределах Di плотность постоянна и равна , получим, что масса Di приближённо есть , а масса всей пластины . Это - интегральная сумма, при уменьшении   точность приближения увеличивается, и в пределе .

 Аналогично находятся другие параметры пластины:

координаты центра тяжести , ;

моменты инерции  (относительно оси Ox),  (относительно оси Oy),  (относительно начала координат).

 Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми  если плотность .

 Решение.

   (что и следовало ожидать, так как область и плотность симметричны относительно оси Оу).

.

. .

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. -М.: Интеграл - Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. - 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 - 2001. -697 с.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей