Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Приложения двойного интеграла.

 Вычисление площадей плоских областей. В соответствии с свойством 16.1.3.3. Интеграл от единичной функции . Пример: найти площадь области , лежащей внутри кривых . Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 Решение. Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду , это - лемниската Бернулли; второе - к виду , это - кардиоида. Решая уравнение , находим, что точка их пересечения лежит на луче . D состоит из двух лунок одинаковой площади; вычислим площадь верхней. При эта лунка ограничена кардиоидой; при  - лемнискатой, поэтому  

 

 

  16.1.7.2. Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y), z = f2(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

 Примеры. 1. Найти объём тела

Решение. Тело изображено на рисунке слева. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось Oxz:   Область D - треугольник, ограниченный прямыми x = 0, z = 0, 2x + z = 4, поэтому  

.

Найти объём области, ограниченной поверхностями x2 + y2 + z 2 = R 2,

(x2 + y2) 3 = R 2(x2 + y2).

Решение. Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси Oz (в уравнении нет z в явной форме). Построить в плоскости Oxy кривую шестого порядка, заданную уравнением (x2 + y2) 3 = R 2(x2 + y2), в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей (чётные степени) и точка О(0,0) принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам.

  Эту кривую построить уже можно.   максимально, когда , минимально, когда

, и гладко меняется между этими пределами (точка О(0,0) не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли?).

Пользуясь симметрией, получаем

 

  и т.д.

Пример 11.2. Вычислить

где S – часть цилиндрической поверхности  отсеченной плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 17).

Решение: Воспользуемся формулой (11.6). Поскольку ,  то

  Рис. 17.  где D1 – прямоугольник AA1B1B.

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей