Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному. Примеры:

1. Пусть область . Представить двойной интеграл по области D в виде повторных. Перейти к полярным координатам.

Решение. Область изображена на рисунке справа. Для левой части D ; для правой -  (уравнение правой полуокружности после выделения полных квадратов принимает вид ), поэтому

.

D можно также oписать неравенствами , поэтому . В полярных координатах уравнение левой четверти окружности имеет вид  для  (можно взять и отрезок ), правой полуокружности  для  (можно взять и отрезок ), поэтому . [an error occurred while processing this directive]

. Изменить порядок интегрирования, перейти к полярным координатам.

Решение. Область D - объединение трёх подобластей:  . На рисунке изображена область и приведены уравнения прямых и обратных функций для линий, ограничивающих её. D можно представить в виде , поэтому . В полярных координатах D представляется как объединение двух треугольников OCB и OBA. Уравнение прямой ОС:   (можно получить и формально, перейдя к полярным координатам в её уравнении:  ), прямой ОВ: , прямой СВ:  , прямой ОА: , прямой АВ:  . В результате  .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.

Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности S = S1 + S2 равен сумме интегралов по ее частям S1 и S2 (аддитивное свойство), если S1 и S2 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

Если S1, S2, S3 – цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ox, Oy, то

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей