Обыкновенные дифференциальные уравнения Функция комплексной переменной Геометрический смысл производной. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Двойной интеграл Изменение порядка интегрирования


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Аналогичным образом область D, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх, можно описать неравенствами . Функция  образована левыми точками пересечения прямой y = y0 при  с границей области D, функция  - правыми точками пересечения этой прямой с границей области D.

 Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и , и .

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от   до  получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок: [an error occurred while processing this directive]

.

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD: ;

теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область D разбита на две подобласти D1 и D2 прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области D равен сумме интегралов по D1 и D2: J(D) = J(D1) + J(D2).

  Первый случай: прямая x = a1 параллельна оси Oy. Тогда   (аддитивность внешнего интеграла) = J(D1) + J(D2).

 Второй случай: прямая y = c1 параллельна оси Oх. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла:

 

 
(теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом) =  (применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму)=

(первая фигурная скобка даёт повторный интеграл по D1, второй – по D2 = J(D1) + J(D2).

 Понятно, что воэможны различные случаи взаимного расположения прямых y = c1, x = a1, x = a2 и функций , , но логика доказательства во всех случаях такая же.

  Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область D на две подобласти  D1,1 и D1,2. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает D1,1 на D1 и D2; D1,2 - на D3 и D4. По доказанному, J(D1,1) = J(D1) + J(D2), J(D1,2) = J(D3) + J(D4), поэтому J(D) = J(D1,1) + J(D1,2) = J(D1) + J(D2) + J(D3) + J(D4). Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти D1, D2, …, Dn, то .

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Приложения двойного интеграла Вычисление площадей